بحث عن احتمالات الحوادث المتنافية

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد وعلى آله وصحبه أجمعين. أما بعد، فإن الاحتمالات فرع من فروع الرياضيات يدرس الظواهر التي لا نستطيع الجزم بنتيجتها قبل وقوعها، كرمي قطعة نقد أو رمي حجر النرد أو سحب بطاقة من مجموعة. وتبنى عليها علوم كثيرة كالإحصاء والتأمين والوراثة والتنبؤ بالطقس. ومن أهم مفاهيمها الأولى الحوادث المتنافية، وفي هذا البحث نعرض معناها وقوانينها بأمثلة محلولة.

تعريف الموضوع

الحادثان A و B يسميان متنافيين (أو متنافرين) إذا استحال وقوعهما معًا في التجربة نفسها، أي ليس بينهما عنصر مشترك، ويرمز لذلك بالعلاقة A ∩ B = ∅. فإذا وقع أحدهما لم يقع الآخر. فمثلًا عند رمي قطعة نقد مرة واحدة، حادثة ظهور الصورة وحادثة ظهور الكتابة متنافيتان، لأنهما لا تقعان معًا.

أهمية الموضوع

يساعد فهم الحوادث المتنافية على حساب احتمال وقوع أحد عدة أمور محتملة بطريقة بسيطة هي الجمع، ويعد أساسًا لقوانين الاحتمال كلها، وتستعمله الأبحاث والقرارات في الطب والاقتصاد والهندسة. كما ينمي مهارات التفكير المنطقي والاستدلال.

أهداف البحث

• التعرف على مفاهيم التجربة العشوائية وفضاء العينة والحادثة.
• تعرّف الحوادث المتنافية وغير المتنافية.
• تطبيق قانون جمع الاحتمالات في الحالتين.
• حل مسائل متنوعة على الأوراق والنرد والكرات.
• التمييز بين الحوادث المتنافية والحوادث المستقلة.

عناصر البحث

أولًا: مفاهيم أساسية

• التجربة العشوائية: تجربة نعرف نتائجها الممكنة قبل إجرائها ولا نعرف أيها سيقع، كرمي حجر نرد.
• فضاء العينة (S): مجموعة النتائج الممكنة كلها، ففي رمي حجر نرد تتكون من الأعداد الستة الظاهرة على أوجهه، من واحد إلى ستة.
• الحادثة: أي مجموعة جزئية من فضاء العينة، كحادثة ظهور عدد زوجي، وهي تضم ثلاث نتائج من الست.
• احتمال الحادثة: إذا كانت النتائج متساوية الفرص فاحتمال الحادثة A يساوي عدد عناصرها مقسومًا على عدد عناصر فضاء العينة.

P(A) = n(A) / n(S)

وقيمة الاحتمال دائمًا بين الصفر والواحد، فالحادثة المستحيلة احتمالها صفر والحادثة المؤكدة احتمالها واحد.

ثانيًا: الحوادث المتنافية وقانون الجمع

إذا كانت الحادثتان A و B متنافيتين فإن احتمال وقوع إحداهما على الأقل (أي A أو B) يساوي مجموع احتماليهما:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

ويمكن تعميم القانون على أي عدد من الحوادث المتنافية مثنى مثنى، فاحتمال اتحادها يساوي مجموع احتمالاتها.

ثالثًا: الحوادث غير المتنافية

إذا أمكن وقوع الحادثتين معًا، أي كان بينهما تقاطع، فلو جمعنا احتماليهما لحسبنا النتائج المشتركة مرتين، ولذا نطرح احتمال التقاطع مرة:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

وهذا هو القانون العام لجمع الاحتمالات، وقانون الحوادث المتنافية حالة خاصة منه لأن P(A ∩ B) = 0 فيها.

رابعًا: الحادثة المتممة

متممة الحادثة A هي الحادثة التي تقع عندما لا تقع A، ويرمز لها A′. والحادثة ومتممتها متنافيتان، ومجموع احتماليهما يساوي واحدًا:

P(A′) = 1 − P(A)

ويفيد هذا القانون كثيرًا حين يكون حساب احتمال «عدم الوقوع» أسهل، كحساب احتمال ظهور رقم لا يقل عن واحد في رميات متعددة.

خامسًا: أمثلة محلولة

المثال الأول: رُمي حجر نرد منتظم مرة واحدة. ما احتمال ظهور العدد اثنين أو العدد خمسة؟

الحادثتان متنافيتان لأن الحجر لا يظهر عددين معًا، واحتمال كل منهما سدس.

P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

المثال الثاني: سُحبت ورقة عشوائيًا من مجموعة أوراق لعب عددها اثنتان وخمسون. ما احتمال أن تكون الورقة «آس» أو «ملك»؟

في المجموعة أربعة أوراق آس وأربعة أوراق ملك، ولا توجد ورقة تجمع الصفتين، فالحادثتان متنافيتان.

P = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13

المثال الثالث: في السحب نفسه، ما احتمال أن تكون الورقة «قلبًا» أو «آس»؟

هنا الحادثتان غير متنافيتين لأن آس القلب ورقة تحمل الصفتين معًا. في المجموعة ثلاث عشرة ورقة قلب وأربعة أوراق آس وورقة واحدة مشتركة.

P = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13

المثال الرابع: في صندوق خمس كرات حمراء وثلاث كرات زرقاء وكرتان خضراوان. سُحبت كرة عشوائيًا، ما احتمال ألا تكون زرقاء؟

عدد الكرات الكلي عشر كرات، واحتمال الزرقاء ثلاثة من عشرة، فاحتمال عدم كونها زرقاء يساوي المتممة:

P = 1 − 3/10 = 7/10

سادسًا: جدول المقارنة بين الحالتين

سابعًا: الفرق بين المتنافية والمستقلة

يخلط كثير من الطلاب بين الحوادث المتنافية والحوادث المستقلة، والفرق بينهما كبير. فالمتنافية لا تقع معًا أبدًا، فإذا وقعت إحداهما كان وقوع الأخرى مستحيلًا، أي أن بينهما اعتمادًا. أما الحوادث المستقلة فهي التي لا يؤثر وقوع إحداها في احتمال وقوع الأخرى، كرمي قطعة نقد ثم رمي حجر نرد، ويحسب احتمال وقوعهما معًا بضرب احتماليهما. وإذا كان احتمال كل من الحادثتين أكبر من الصفر فلا يمكن أن تكونا متنافيتين ومستقلتين في الوقت نفسه.

ثامنًا: تطبيقات الاحتمالات

• في الوراثة، لتقدير احتمال ظهور صفة وراثية في الأبناء.
• في التأمين والاقتصاد، لتقدير المخاطر والخسائر المتوقعة.
• في الأرصاد الجوية، للتنبؤ باحتمال هطول الأمطار.
• في الطب، لتقييم فعالية الأدوية ودقة الفحوص.

النتائج

• الحادثتان المتنافيتان لا تقعان معًا، وتقاطعهما فارغ.
• احتمال اتحاد حادثتين متنافيتين يساوي مجموع احتماليهما.
• في الحوادث غير المتنافية نطرح احتمال التقاطع من المجموع.
• مجموع احتمال الحادثة ومتممتها يساوي واحدًا.
• التنافي غير الاستقلال، ولا يجتمعان في حادثتين غير مستحيلتين.

التوصيات

• رسم مخطط فن لتوضيح التقاطع عند حل المسائل.
• إجراء تجارب عملية بالنرد والقطع النقدية والتحقق من النتائج النظرية.
• التمهل في قراءة السؤال للتمييز بين كلمتي «أو» و«و».

الخاتمة

عرفنا في هذا البحث أن الحوادث المتنافية هي التي لا تقع معًا، وأن احتمال وقوع إحداها يحسب بجمع احتمالاتها، وأن القانون العام يضيف الطرح عند وجود تقاطع. وبهذه القوانين البسيطة يستطيع الطالب أن يحل كثيرًا من مسائل الاحتمال ويفهم أساس علم الإحصاء الذي يدخل في حياتنا اليومية.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلتين المتوسطة والثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتاب «مقدمة في الاحتمالات والإحصاء»، من المقررات الجامعية في الإحصاء.
• كتاب «A First Course in Probability»، شيلدون روس.
• كتاب «الاحتمالات والإحصاء للمهندسين والعلماء»، والبول ومايرز.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، احتمالات الحوادث المتنافية