ورقاتمقدمة البحث
الحمد لله الذي خلق كل شيء بقدر، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الهندسة من أقدم العلوم التي عرفها الإنسان، ونحن نرى الأشكال الهندسية حولنا في كل مكان: في النوافذ والأبواب والكتب والملاعب والبلاط. ومن أكثر الأشكال شيوعًا الأشكال الرباعية. وفي هذا البحث نتعرف على أنواعها وخواصها وقوانين محيطها ومساحتها مع أمثلة محلولة.
تعريف الموضوع
الشكل الرباعي مضلع مغلق له أربعة أضلاع وأربع زوايا وأربعة رؤوس، ويتكون من أربع قطع مستقيمة تلتقي أطرافها. وله قطران يصل كل منهما بين رأسين متقابلين. ويسمى الشكل الرباعي عادة بأسماء رؤوسه مرتبة، مثل الشكل أ ب جـ د.
أهمية الموضوع
تظهر أهمية دراسة الأشكال الرباعية في استخدامها الواسع في الحياة، فهي أساس تصميم البيوت والأراضي والطرق والأثاث، وبها نحسب مساحات الغرف والحقول وكميات المواد اللازمة للبناء. كما أنها تدرّب الطالب على الاستدلال الهندسي والبرهان.
أهداف البحث
- التعرف على مفهوم الشكل الرباعي ومجموع زواياه.
- تمييز أنواع الأشكال الرباعية وخواص كل نوع.
- تطبيق قوانين المحيط والمساحة.
- حل مسائل متنوعة على الأشكال الرباعية.
عناصر البحث
أولًا: مجموع زوايا الشكل الرباعي
مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي شكل رباعي يساوي ثلاثمئة وستين درجة. ويمكن إثبات ذلك برسم أحد القطرين فينقسم الشكل إلى مثلثين، مجموع زوايا كل منهما مئة وثمانون درجة:
180° + 180° = 360°
مثال: شكل رباعي قياسات ثلاث زوايا منه تسعون درجة ومئة وعشر درجات وسبعون درجة، أوجد قياس الزاوية الرابعة.
360° − (90° + 110° + 70°) = 360° − 270° = 90°
ثانيًا: أنواع الأشكال الرباعية وخواصها
متوازي الأضلاع
هو شكل رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان. وخواصه:
- كل ضلعين متقابلين متطابقان.
- كل زاويتين متقابلتين متطابقتان.
- الزاويتان المتتاليتان متكاملتان، أي مجموعهما مئة وثمانون درجة.
- القطران ينصّف كل منهما الآخر.
المستطيل
هو متوازي أضلاع جميع زواياه قوائم. وخواصه خواص متوازي الأضلاع مضافًا إليها أن القطرين متطابقان.
المعين
هو متوازي أضلاع أضلاعه الأربعة متطابقة. وخواصه خواص متوازي الأضلاع مضافًا إليها أن القطرين متعامدان وينصّف كل منهما زاويتي الرأسين اللذين يصل بينهما.
المربع
هو الشكل الذي تجتمع فيه خواص المستطيل والمعين معًا: أضلاعه الأربعة متطابقة وزواياه الأربع قوائم وقطراه متطابقان ومتعامدان وينصّف كل منهما الآخر.
شبه المنحرف
هو شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان فقط متوازيان، يسميان القاعدتين، والضلعان الآخران يسميان الساقين. وإذا تطابق الساقان سمي شبه منحرف متطابق الساقين، وفيه زاويتا كل قاعدة متطابقتان والقطران متطابقان.
الطائرة الورقية
هي شكل رباعي فيه زوجان من الأضلاع المتجاورة المتطابقة، وقطراها متعامدان، ويقسم أحدهما الآخر إلى جزأين متساويين.
ثالثًا: جدول المقارنة بين الأشكال
| الشكل | الأضلاع | الزوايا | القطران |
|---|---|---|---|
| متوازي الأضلاع | كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان | المتقابلتان متطابقتان | ينصّف كل منهما الآخر |
| المستطيل | المتقابلة متوازية ومتطابقة | كلها قوائم | متطابقان وينصّف كل منهما الآخر |
| المعين | الأربعة متطابقة | المتقابلتان متطابقتان | متعامدان وينصّف كل منهما الآخر |
| المربع | الأربعة متطابقة | كلها قوائم | متطابقان ومتعامدان وينصّف كل منهما الآخر |
| شبه المنحرف | زوج واحد متوازٍ | زاويتا الساق متكاملتان | ليسا متطابقين إلا في متطابق الساقين |
رابعًا: قوانين المحيط والمساحة
| الشكل | المحيط | المساحة |
|---|---|---|
| المربع | 4 × a | a2 |
| المستطيل | 2 (L + W) | L × W |
| متوازي الأضلاع | 2 (a + b) | b × h |
| المعين | 4 × a | (d1 × d2) ÷ 2 |
| شبه المنحرف | مجموع الأضلاع الأربعة | (b1 + b2) × h ÷ 2 |
حيث a طول الضلع، وL الطول، وW العرض، وh الارتفاع، وb القاعدة، وd القطر.
خامسًا: أمثلة محلولة
المثال الأول: مستطيل طوله اثنا عشر سنتيمترًا وعرضه ثمانية سنتيمترات، أوجد محيطه ومساحته.
P = 2 × (12 + 8) = 40 cm
A = 12 × 8 = 96 cm2
المثال الثاني: معين طولا قطريه عشرة سنتيمترات وستة سنتيمترات، أوجد مساحته.
A = (10 × 6) ÷ 2 = 30 cm2
المثال الثالث: شبه منحرف طولا قاعدتيه تسعة سنتيمترات وخمسة سنتيمترات وارتفاعه أربعة سنتيمترات، أوجد مساحته.
A = (9 + 5) × 4 ÷ 2 = 28 cm2
المثال الرابع: متوازي أضلاع قياس إحدى زواياه سبعون درجة، أوجد قياس باقي زواياه.
الزاوية المقابلة تساوي ٧٠ درجة أيضًا، وكل من الزاويتين الأخريين متممة للمئة وثمانين درجة مع الزاوية الأولى، فتكون:
180° − 70° = 110°
المثال الخامس: مربع محيطه ستة وثلاثون سنتيمترًا، أوجد طول ضلعه ومساحته.
a = 36 ÷ 4 = 9 cm
A = 92 = 81 cm2
سادسًا: العلاقة بين الأشكال الرباعية
يمكن ترتيب الأشكال الرباعية في تسلسل هرمي، فالمربع حالة خاصة من المستطيل ومن المعين، وكلاهما حالة خاصة من متوازي الأضلاع، ومتوازي الأضلاع حالة خاصة من الشكل الرباعي. فكل مربع هو مستطيل وهو معين في الوقت نفسه، لكن ليس كل مستطيل مربعًا. وهذا الفهم يساعد على حل المسائل لأن خواص الشكل الأعم تنطبق على أشكاله الخاصة.
سابعًا: تطبيقات حياتية
- حساب مساحة الأرض التي تُبنى عليها المنازل لمعرفة تكلفة الشراء.
- تحديد عدد البلاط اللازم لتغطية أرضية غرفة مستطيلة.
- تصميم الحدائق والملاعب ذات الأشكال الرباعية.
- تصميم الجسور والهياكل الحديدية التي تعتمد المثلثات والأشكال الرباعية.
- صناعة الطائرات الورقية بالشكل الذي يوفر التوازن في الهواء.
النتائج
- مجموع زوايا أي شكل رباعي يساوي ثلاثمئة وستين درجة.
- من الأشكال الرباعية متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين والمربع وشبه المنحرف والطائرة الورقية.
- المربع هو أخص الأشكال، فيجمع خواص المستطيل والمعين.
- لكل شكل قانون خاص للمحيط والمساحة يسهل حل المسائل به.
التوصيات
- رسم الأشكال والتدرب على تمييز خواصها بالأدوات الهندسية.
- حفظ القوانين مع فهم أصل كل قانون.
- التدرب على المسائل الحياتية المرتبطة بالمساحة والمحيط.
- استخدام برامج الهندسة التفاعلية لاستكشاف الخواص.
الخاتمة
عرضنا في هذا البحث الأشكال الرباعية: تعريفها ومجموع زواياها وأنواعها وخواصها وقوانين محيطها ومساحتها وأمثلة تطبيقية. وتبين لنا أن هذه الأشكال بسيطة في ظاهرها غنية بخواصها وتطبيقاتها، وأن إتقانها أساس للانتقال إلى موضوعات أعمق في الهندسة.
المراجع
- كتب الرياضيات للمرحلتين المتوسطة والثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
- كتاب الأصول في الهندسة، لإقليدس.
- مبادئ الهندسة المستوية، مقررات الهندسة الجامعية التمهيدية.