بحث عن الأعداد المركبة

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فقد بدأ الإنسان تعلّم العدّ بالأعداد الطبيعية، ثم احتاج إلى الأعداد الصحيحة لتمثيل الديون والنقص، ثم إلى الكسور والأعداد النسبية، ثم إلى الأعداد غير النسبية كجذر العدد اثنين. وبقيت مسائل لا حل لها بين الأعداد الحقيقية، مثل المعادلة التي تطلب عددًا مربعه سالب. ومن هنا ظهرت الأعداد المركبة لتوسّع مجموعة الأعداد، وتجعل لكل معادلة كثيرة حدود حلًّا. وفي هذا البحث نتعرف على هذه الأعداد وعملياتها وتطبيقاتها.

تعريف الموضوع

العدد المركب هو عدد يمكن كتابته على الصورة:

z = a + bi

حيث a وb عددان حقيقيان، ويسمى a الجزء الحقيقي، ويسمى b الجزء التخيلي، أما i فهي الوحدة التخيلية التي تحقق:

i² = −1

ويرمز لمجموعة الأعداد المركبة بالرمز C، وكل عدد حقيقي هو عدد مركب جزؤه التخيلي صفر، فالأعداد الحقيقية جزء من الأعداد المركبة.

أهمية الموضوع

للأعداد المركبة أهمية كبيرة في الرياضيات والعلوم، فهي تكمل نظام الأعداد بحيث يصبح لكل معادلة جبرية حل، وتُستخدم في الهندسة الكهربائية لتحليل التيار المتردد، وفي الفيزياء لوصف الموجات والتذبذبات، وفي معالجة الإشارات والرسوم الحاسوبية. وتدريب الطالب عليها ينمّي التفكير المجرد والمرونة في التعامل مع الرموز.

أهداف البحث

• التعرف على الوحدة التخيلية والعدد المركب وأجزائه.
• إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة على الأعداد المركبة.
• معرفة المرافق ومعيار العدد المركب.
• تمثيل العدد المركب على المستوى المركب وبالصورة القطبية.
• التعرف على بعض تطبيقات الأعداد المركبة.

أولًا: الوحدة التخيلية وقوى i

سُمّيت i وحدة تخيلية لأنه لا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب، فهي عدد جديد عُرّف لهذا الغرض. وتتكرر قوى i بدورة مكونة من أربع قيم:

ولإيجاد قيمة أي قوة نقسم الأُس على أربعة وننظر إلى الباقي. فمثلًا لحساب i²³ نجد أن باقي قسمة ثلاثة وعشرين على أربعة هو ثلاثة، فتكون القيمة −i.

ثانيًا: العمليات على الأعداد المركبة

الجمع والطرح

نجمع الأجزاء الحقيقية معًا والأجزاء التخيلية معًا:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

مثال: ناتج جمع (3 + 2i) و(1 − 5i) يساوي 4 − 3i، وناتج طرح الثاني من الأول يساوي 2 + 7i.

الضرب

نضرب كما نضرب في الجبر، مع تذكر أن مربع الوحدة التخيلية يساوي سالب واحد:

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

مثال: ناتج ضرب (2 + 3i) في (4 − i) هو 8 − 2i + 12i − 3i² ويساوي 8 + 10i + 3 أي 11 + 10i.

المرافق

مرافق العدد z = a + bi هو العدد a − bi ويُرمز له بالرمز z̄. وخاصية المرافق المهمة أن حاصل ضرب العدد في مرافقه عدد حقيقي موجب أو صفر:

(a + bi)(a − bi) = a² + b²

القسمة

لقسمة عدد مركب على آخر نضرب البسط والمقام في مرافق المقام فيصير المقام عددًا حقيقيًا.

مثال: لإيجاد ناتج قسمة (1 + 2i) على (3 − i) نضرب البسط والمقام في (3 + i):

(1 + 2i)(3 + i) / (3 − i)(3 + i) = (3 + i + 6i + 2i²) / 10 = (1 + 7i) / 10

فيكون الناتج 0.1 + 0.7i.

ثالثًا: المستوى المركب ومعيار العدد المركب

يمكن تمثيل العدد المركب a + bi بنقطة إحداثياتها (a , b) في مستوى يُسمى المستوى المركب أو مستوى أرجاند، محوره الأفقي هو المحور الحقيقي ومحوره الرأسي هو المحور التخيلي. ويسمى بعد النقطة عن نقطة الأصل معيار العدد المركب أو مقياسه، ويُحسب بنظرية فيثاغورس:

|z| = √(a² + b²)

فمعيار العدد 3 + 4i يساوي √(9 + 16) أي خمسة.

رابعًا: الصورة القطبية

يمكن كتابة العدد المركب بدلالة معياره r وزاوية θ التي يصنعها مع المحور الحقيقي الموجب:

z = r (cos θ + i sin θ)

وفي هذه الصورة يسهل ضرب الأعداد المركبة وقسمتها، فعند الضرب تُضرب المعايير وتُجمع الزوايا، وعند القسمة تُقسم المعايير وتُطرح الزوايا. ومن أهم نتائجها نظرية ديموافر التي تعطي القوى:

zⁿ = rⁿ (cos nθ + i sin nθ)

وتُستخدم هذه النظرية في إيجاد القوى والجذور للأعداد المركبة.

خامسًا: حل المعادلات التربيعية

إذا كان مميز المعادلة التربيعية سالبًا فلا حلول لها في الأعداد الحقيقية، لكن لها حلين مركبين مترافقين. فمثلًا حل المعادلة:

x² + 4 = 0

هو x = 2i أو x = −2i. وكذلك المعادلة x² − 2x + 5 = 0 مميزها 4 − 20 = −16 فجذراها 1 + 2i و1 − 2i.

سادسًا: تطبيقات الأعداد المركبة

• الهندسة الكهربائية: تُمثّل بها الممانعة والتيار والجهد في دوائر التيار المتردد.
• الفيزياء: وصف الموجات والاهتزازات وميكانيكا الكم.
• معالجة الإشارات والصوت والصورة: في تحويل فورييه وتحليل الترددات.
• الرسم الحاسوبي والهندسة: في الدوران والتحويلات وفي رسم الأشكال الكسورية.

النتائج

• العدد المركب يكتب على الصورة a + bi حيث i² = −1.
• الأعداد الحقيقية جزء من الأعداد المركبة.
• قسمة الأعداد المركبة تتم بالضرب في مرافق المقام.
• يُمثل العدد المركب بنقطة في المستوى المركب ويمكن كتابته بالصورة القطبية.
• لكل معادلة تربيعية حلان في مجموعة الأعداد المركبة.

التوصيات

• التدرب على حل الأمثلة المتنوعة لإتقان الجمع والضرب والقسمة.
• الربط بين الأعداد المركبة والهندسة بتمثيلها على المستوى المركب.
• الاطلاع على تطبيقاتها في الكهرباء والفيزياء لإدراك فائدتها العملية.

الخاتمة

تعرّفنا في هذا البحث على الأعداد المركبة التي وُسّعت بها مجموعة الأعداد، فتعلمنا الوحدة التخيلية وقوانين العمليات والمرافق والمعيار والصورة القطبية، وحل المعادلات التي لا حل لها بين الأعداد الحقيقية، واطلعنا على بعض تطبيقاتها. وتبقى الأعداد المركبة مثالًا على أن الرياضيات علم يتطور بتطور حاجة الإنسان إلى حل مسائل جديدة.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتب التفاضل والتكامل والجبر الجامعية في موضوع الأعداد المركبة.
• موسوعة الرياضيات العربية.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، الأعداد المركبة