بحث عن الاحتمالات

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإننا في حياتنا اليومية نتحدث كثيرًا عن أمور غير مؤكدة: هل ستمطر غدًا؟ هل سيفوز الفريق؟ هل سأنجح في الاختبار؟ وفي كل ذلك نقدّر مدى إمكانية حدوث الشيء، ونقول إن حدوثه محتمل أو غير محتمل أو مؤكد. وقد صاغ علم الرياضيات هذه التقديرات في فرع يُسمى نظرية الاحتمالات، وهو يعطي لإمكانية وقوع الحدث قيمة عددية دقيقة. وفي هذا البحث نتعرف على مفاهيم الاحتمال وقوانينه وتطبيقاته.

تعريف الموضوع

الاحتمال هو قياس عددي لإمكانية وقوع حدث معين، وقيمته دائمًا عدد بين الصفر والواحد. فإذا كان الحدث مستحيل الوقوع فاحتماله صفر، وإذا كان مؤكد الوقوع فاحتماله واحد. وقد يُعبَّر عن الاحتمال بكسر عادي أو عدد عشري أو نسبة مئوية.

ويُحسب احتمال حدث ما في حالة النواتج متساوية الإمكانية بالقانون الآتي:

P(A) = n(A) / n(S)

حيث n(A) عدد النواتج المناسبة للحدث، وn(S) عدد جميع النواتج الممكنة.

أهمية الموضوع

للاحتمالات أهمية كبيرة في الحياة والعلوم، فهي أساس علم الإحصاء، وتُستخدم في التنبؤ بالطقس، وفي شركات التأمين لتقدير المخاطر، وفي الطب لتقدير فعالية العلاجات، وفي الهندسة لتقدير احتمال عطل الأجهزة، وفي الاقتصاد والعلوم والذكاء الاصطناعي. كما أنها تنمّي التفكير المنطقي وتعلّم الإنسان اتخاذ القرار بعقلانية حين لا تتوافر اليقينية الكاملة.

أهداف البحث

• التعرف على معنى التجربة العشوائية وفضاء العينة والحدث.
• حساب احتمال حدث بسيط ومركب.
• التعرف على قوانين الاحتمال، ومنها المتممة والجمع والضرب.
• التمييز بين الأحداث المستقلة والأحداث المتنافية.
• ربط الاحتمالات بتطبيقات واقعية.

عناصر البحث

أولًا: المصطلحات الأساسية

• التجربة العشوائية: تجربة نعرف النواتج الممكنة لها قبل إجرائها، ولا نستطيع الجزم بأي ناتج منها سيقع، مثل رمي حجر النرد أو قطعة نقدية.
• فضاء العينة: مجموعة جميع النواتج الممكنة للتجربة، ويُرمز له بالرمز S. ففي رمي حجر نرد واحد يتكون فضاء العينة من الأعداد الصحيحة من واحد إلى ستة.
• الحدث: مجموعة جزئية من فضاء العينة، مثل «ظهور عدد زوجي».
• الحدث المستحيل: حدث لا يقع أبدًا، واحتماله صفر.
• الحدث المؤكد: حدث يقع دائمًا، واحتماله واحد.

ثانيًا: حساب الاحتمال البسيط

مثال ١: ألقي حجر نرد منتظم مرة واحدة. ما احتمال ظهور عدد أكبر من أربعة؟

الحل: فضاء العينة يحتوي ستة نواتج. والنواتج المناسبة هي خمسة وستة، أي ناتجان. إذن احتمال الحدث يساوي اثنين على ستة، أي ثلث.

مثال ٢: في صندوق ثلاث كرات حمراء وخمس كرات زرقاء. سُحبت كرة واحدة عشوائيًا. ما احتمال أن تكون حمراء؟

الحل: العدد الكلي للكرات ثمانٍ، والمناسب منها ثلاث، فالاحتمال ثلاثة على ثمانية.

ثالثًا: احتمال المتمّم

الحدث المتمم لحدث ما هو أن لا يقع هذا الحدث، ومجموع احتمال الحدث واحتمال متممه يساوي واحدًا:

P(A') = 1 − P(A)

فاحتمال أن لا تكون الكرة المسحوبة في المثال السابق حمراء هو واحد ناقص ثلاثة على ثمانية، أي خمسة على ثمانية، وهو احتمال سحب كرة زرقاء، وهذا يطابق ما ذكرناه.

رابعًا: الأحداث المتنافية وقانون الجمع

يكون حدثان متنافيين إذا لم يمكن وقوعهما معًا في الوقت نفسه، كظهور العدد اثنين والعدد خمسة في رمية واحدة. ويكون احتمال وقوع أحدهما مجموع احتماليهما:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

أما إذا كانا غير متنافيين، أي يمكن اجتماعهما، فنطرح احتمال اجتماعهما حتى لا يُحسب مرتين:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

مثال ٣: سُحبت بطاقة من بطاقات مرقمة من واحد إلى عشرة. ما احتمال أن يكون العدد زوجيًا أو أكبر من سبعة؟

الحل: الأعداد الزوجية خمسة هي اثنان وأربعة وستة وثمانية وعشرة. والأعداد الأكبر من سبعة ثلاثة هي ثمانية وتسعة وعشرة. والأعداد المشتركة بينهما اثنان هما ثمانية وعشرة. إذن عدد النواتج المناسبة لـ«زوجي أو أكبر من سبعة» يساوي خمسة زائد ثلاثة ناقص اثنين، أي ستة. والاحتمال ستة على عشرة، أي ثلاثة أخماس.

خامسًا: الأحداث المستقلة وقانون الضرب

يكون الحدثان مستقلين إذا لم يؤثر وقوع أحدهما في احتمال وقوع الآخر، كرمي قطعة نقدية ثم حجر نرد. ويكون احتمال وقوعهما معًا حاصل ضرب احتماليهما:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

مثال ٤: أُلقيت قطعة نقدية ثم حجر نرد. ما احتمال ظهور صورة وعدد فردي؟

الحل: احتمال ظهور الصورة نصف، واحتمال ظهور عدد فردي ثلاثة على ستة أي نصف. فالاحتمال المطلوب نصف في نصف، أي ربع.

سادسًا: التجارب المتعددة وفضاء العينة

عند رمي قطعتين نقديتين فإن فضاء العينة يحتوي أربعة نواتج: صورة وصورة، صورة وكتابة، كتابة وصورة، كتابة وكتابة. ويمكن إيجاد عدد النواتج بمبدأ العد، بضرب عدد نواتج كل مرحلة. فرمي ثلاث قطع نقدية يعطي ثمانية نواتج، لأن ناتجين في ناتجين في ناتجين يساوي ثمانية.

ويمكن تمثيل النواتج بالشجرة البيانية أو الجداول لتسهيل حصرها.

سابعًا: الاحتمال التجريبي والنظري

الاحتمال النظري هو ما نحسبه بالقانون اعتمادًا على تساوي النواتج، أما الاحتمال التجريبي فنحسبه من نتائج تجارب فعلية، بقسمة عدد مرات وقوع الحدث على عدد مرات إجراء التجربة. وكلما زاد عدد المحاولات اقترب الاحتمال التجريبي من النظري، وهذا ما يسمى قانون الأعداد الكبيرة. فإذا رميت قطعة نقدية مئة مرة فلن تحصل بالضرورة على خمسين صورة بالضبط، لكن النتيجة تقترب من النصف كلما زاد عدد الرميات.

ثامنًا: تطبيقات الاحتمالات

• الأرصاد الجوية: تُعلن توقعات الطقس باحتمال هطول المطر.
• التأمين: تقدّر الشركات احتمال وقوع الحوادث لتحديد الأقساط.
• الطب: يُستفاد منها في تقدير نجاح العلاج وفي دراسة الأوبئة.
• الصناعة: مراقبة الجودة وتقدير نسبة الإنتاج المعيب.
• الوراثة: تقدير احتمال انتقال الصفات الوراثية بين الأجيال.

ومن الجدير بالذكر أن الاحتمالات لا تتعارض مع الإيمان بالقدر، فالله سبحانه علمه محيط بكل شيء، أما نحن فلا نعلم الغيب، ونستعمل الاحتمالات لتقدير أمور في حدود علمنا. قال تعالى:

﴿وَعِنْدَهُ مَفَاتِحُ الْغَيْبِ لَا يَعْلَمُهَا إِلَّا هُوَ ۚ وَيَعْلَمُ مَا فِي الْبَرِّ وَالْبَحْرِ ۚ وَمَا تَسْقُطُ مِنْ وَرَقَةٍ إِلَّا يَعْلَمُهَا وَلَا حَبَّةٍ فِي ظُلُمَاتِ الْأَرْضِ وَلَا رَطْبٍ وَلَا يَابِسٍ إِلَّا فِي كِتَابٍ مُبِينٍ﴾ [الأنعام: 59]

تاسعًا: أخطاء شائعة

• الاعتقاد أن الرميات السابقة تؤثر في الرمية القادمة؛ فاحتمال ظهور الصورة يبقى نصفًا مهما تكررت الصور.
• نسيان طرح الجزء المشترك عند جمع احتمالي حدثين غير متنافيين.
• الخلط بين الحدثين المستقلين والمتنافيين، فالمستقلان قد يقعان معًا والمتنافيان لا يقعان معًا.
• الحصول على احتمال أكبر من واحد أو سالب، وهذا يدل على خطأ في الحل.

النتائج

• الاحتمال عدد بين الصفر والواحد يقيس إمكانية وقوع الحدث.
• يُحسب الاحتمال البسيط بقسمة النواتج المناسبة على جميع النواتج الممكنة.
• مجموع احتمال الحدث ومتممه يساوي واحدًا.
• للأحداث المتنافية قانون جمع، وللأحداث المستقلة قانون ضرب.
• كلما زادت المحاولات اقترب الاحتمال التجريبي من الاحتمال النظري.

التوصيات

• الإكثار من التمارين التطبيقية باستخدام النرد والقطع النقدية والكرات الملونة.
• ربط الاحتمالات بالأمثلة الواقعية لتقريب المفاهيم للطلاب.
• استخدام برامج الحاسب في محاكاة التجارب العشوائية ذات المحاولات الكثيرة.
• الحذر من تفسير الصدفة وتعميمها دون أدلة كافية.

الخاتمة

تعرفنا في هذا البحث على علم الاحتمالات وأساسياته، وتعلمنا كيف نحسب احتمال الأحداث البسيطة والمركبة، وكيف نفرق بين الأحداث المستقلة والمتنافية، وكيف نستفيد من هذا العلم في حياتنا. وإن تعلّم الاحتمالات يعوّدنا على التفكير المنظم في الأمور غير المؤكدة، ويعلّمنا أن الحكم السليم يقوم على الحساب لا على التخمين.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلتين المتوسطة والثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتاب «مبادئ الاحتمالات والإحصاء» من الكتب الجامعية المعروفة في هذا المجال.
• كتاب A First Course in Probability لـ Sheldon Ross.
• موقع الهيئة العامة للإحصاء في المملكة العربية السعودية.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، الاحتمالات