بحث عن الزوايا والمستقيمات المتوازية

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد وعلى آله وصحبه. أما بعد، فإن الهندسة من أقدم فروع الرياضيات، وهي تدرس الأشكال وأبعادها وعلاقاتها. ومن أهم موضوعاتها الزوايا والمستقيمات المتوازية، فهما أساس كثير من نظريات الهندسة ومن تطبيقات البناء والتصميم. وفي هذا البحث نتعرف على أنواع الزوايا وخصائص المستقيمات المتوازية والعلاقات بين الزوايا الناتجة عن قاطع لها.

تعريف الموضوع

الزاوية شكل هندسي ينتج عن التقاء شعاعين في نقطة واحدة تسمى رأس الزاوية، ويسمى كل من الشعاعين ضلعًا للزاوية، وتُقاس بوحدة الدرجة. أما المستقيمان المتوازيان فهما مستقيمان يقعان في مستوى واحد ولا يلتقيان مهما امتدا، والمسافة بينهما ثابتة. وأما القاطع فهو مستقيم يقطع مستقيمين أو أكثر في نقاط مختلفة.

أهمية الموضوع

تكمن أهمية الموضوع في أنه يُستخدم في حل مسائل الهندسة وإثبات النظريات، وفي تطبيقات عملية كثيرة، فالمهندس يستخدم التوازي في رسم الطرق والمباني، والنجار يعتمد على الزوايا القائمة والمتوازية في صناعة الأثاث، والرسام يستعين بها في المنظور والتصميم. كما أن دراسته تنمّي التفكير المنطقي والاستدلال لدى الطالب.

أهداف البحث

• التعرف على أنواع الزوايا وتصنيفها حسب قياسها.
• تعريف المستقيمات المتوازية والقاطع.
• تحديد الزوايا المتناظرة والمتبادلة والمتحالفة.
• معرفة شروط توازي مستقيمين.
• حل مسائل لإيجاد قياسات زوايا مجهولة.

أولًا: أنواع الزوايا

علاقات بين الزوايا

• الزاويتان المتتامتان: مجموع قياسيهما تسعون درجة.
• الزاويتان المتكاملتان: مجموع قياسيهما مئة وثمانون درجة.
• الزاويتان المتقابلتان بالرأس: تنتجان من تقاطع مستقيمين، وهما متطابقتان دائمًا.
• الزاويتان المتجاورتان على مستقيم: متكاملتان.

ثانيًا: المستقيمات المتوازية

إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين نتجت ثماني زوايا، أربع عند كل نقطة تقاطع. وتتكون بينها أزواج من الزوايا لها أسماء وخصائص، وهي أهم ما يُدرس في هذا الموضوع.

الزوايا المتناظرة

هي زوايا تقع في الموقع نفسه عند كل من نقطتي التقاطع، كأن تكون كل منهما أعلى القاطع وعلى يمينه. وإذا كان المستقيمان متوازيين فإن الزاويتين المتناظرتين متساويتان في القياس.

الزوايا المتبادلة داخليًا

هي زوايا تقع بين المستقيمين وعلى جهتين مختلفتين من القاطع. وإذا كان المستقيمان متوازيين فإنها متساوية.

الزوايا المتبادلة خارجيًا

هي زوايا تقع خارج المستقيمين وعلى جهتين مختلفتين من القاطع، وهي متساوية عند التوازي.

الزوايا المتحالفة (الداخلية على جهة واحدة)

هي زوايا تقع بين المستقيمين وعلى جهة واحدة من القاطع، ومجموع قياسيها مئة وثمانون درجة عند التوازي، أي أنها متكاملة.

ثالثًا: شروط توازي مستقيمين

يمكن إثبات أن مستقيمين متوازيان إذا تحقق أحد الشروط الآتية عند قطعهما بمستقيم ثالث:

1. تساوي زاويتين متناظرتين.
2. تساوي زاويتين متبادلتين داخليًا.
3. تساوي زاويتين متبادلتين خارجيًا.
4. تكامل زاويتين متحالفتين.

كما أن المستقيمين المتعامدين على مستقيم ثالث في مستوى واحد يكونان متوازيين، والمستقيمين الموازيين لمستقيم ثالث متوازيان فيما بينهما.

رابعًا: أمثلة محلولة

مثال أول

مستقيمان متوازيان قطعهما قاطع، وقياس إحدى الزوايا المتناظرة مئة وعشرون درجة. أوجد قياس الزاوية المناظرة لها.

الحل: الزاويتان المتناظرتان متساويتان عند التوازي، فقياس الزاوية المناظرة مئة وعشرون درجة.

مثال ثانٍ

في الشكل السابق، إذا كان قياس زاوية داخلية على جهة واحدة من القاطع يساوي ثمانين درجة، فما قياس الزاوية المتحالفة معها؟

الحل: الزاويتان المتحالفتان متكاملتان، فمجموعهما مئة وثمانون درجة.

180 − 80 = 100

فقياس الزاوية الأخرى مئة درجة.

مثال ثالث

مستقيمان متوازيان وقاطع، قياس إحدى الزوايا فيها (٢س + ١٠) درجة وقياس الزاوية المبادلة لها داخليًا (س + ٥٠) درجة. أوجد قيمة س.

الحل: الزاويتان المتبادلتان داخليًا متساويتان، فنكتب المعادلة:

2x + 10 = x + 50

x = 40

فقيمة س تساوي أربعين، وقياس كل من الزاويتين تسعون درجة.

مثال رابع

في الشكل مستقيمان متوازيان وقاطع، قياس إحدى الزوايا مئة وخمسون درجة. أوجد قياس جميع الزوايا الثماني.

الحل: الزاوية المعطاة منفرجة، وهي إحدى أربع زوايا منفرجة متساوية في الشكل: فالمقابلة لها بالرأس تساويها، والمناظرة لها عند التقاطع الآخر تساويها، والمقابلة بالرأس لهذه تساويها أيضًا. فيكون قياس كل من الزوايا المنفرجة الأربع مئة وخمسين درجة. أما الزوايا الحادة الأربع الباقية فكل واحدة منها متجاورة مع منفرجة على مستقيم، أي متكاملة معها:

180 − 150 = 30

فقياس كل زاوية حادة ثلاثون درجة.

سادسًا: الزوايا في المثلث وعلاقتها بالتوازي

من أجمل تطبيقات التوازي إثبات أن مجموع زوايا المثلث الداخلية يساوي مئة وثمانين درجة. وفكرة الإثبات أن نرسم من أحد رؤوس المثلث مستقيمًا يوازي الضلع المقابل، فتنتج زاويتان متبادلتان داخليًا مع زاويتين من المثلث، وهما متساويتان بسبب التوازي، فتتجاور الزوايا الثلاث على مستقيم واحد وتكون متكاملة، ومنه نصل إلى النتيجة.

ومن هذه النتيجة نستنتج أن الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها، وأن المثلث لا يمكن أن يحوي أكثر من زاوية قائمة أو منفرجة واحدة.

سابعًا: أخطاء شائعة

• افتراض أن الزاويتين المتناظرتين متساويتان دون التأكد من توازي المستقيمين.
• الخلط بين الزوايا المتحالفة والمتبادلة، فالأولى مجموعها مئة وثمانون والثانية متساوية.
• الخلط بين المتتامتين والمتكاملتين.
• نسيان أن المستقيمين يجب أن يكونا في مستوى واحد.

ثامنًا: تطبيقات حياتية

• خطوط السكك الحديدية متوازية فلا تلتقي القطارات بها.
• خطوط الطرق السريعة والمدارج تُرسم متوازية.
• الأسطر في الدفتر مثال على المستقيمات المتوازية.
• إطارات النوافذ والأبواب تعتمد على الزوايا القائمة والتوازي.

الخاتمة

تبيّن لنا في هذا البحث أن الزوايا والمستقيمات المتوازية موضوع أساسي في الهندسة، وأن قطع مستقيمين متوازيين بقاطع ينتج علاقات منتظمة بين الزوايا: فالمتناظرة والمتبادلة متساوية، والمتحالفة متكاملة. وبمعرفة هذه العلاقات نستطيع حل المسائل وإثبات توازي المستقيمات. نسأل الله أن ينفع بهذا العلم.

المراجع

• كتب الرياضيات المقررة في المرحلتين المتوسطة والثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• إقليدس، «الأصول»، في أصول الهندسة المستوية.
• كتب الهندسة المستوية العامة في المكتبات الجامعية.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، الزوايا والمستقيمات المتوازية