بحث عن الزوايا وقياساتها

مقدمة البحث

الحمد لله الذي خلق كل شيء بقدر، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الهندسة من أقدم فروع الرياضيات، وقد نشأت من حاجة الإنسان إلى قياس الأرض وبناء البيوت وتحديد الاتجاهات. ومن أهم مفاهيمها الزاوية، فهي حاضرة في زاوية الغرفة وعقارب الساعة وسقف البيت وفتحة الباب. وفي هذا البحث نتعرف على الزاوية وأنواعها وطرق قياسها والعلاقات التي تجمع بين الزوايا.

تعريف الموضوع

الزاوية شكل هندسي ينشأ من التقاء شعاعين في نقطة واحدة تسمى الرأس، ويسمى كل شعاع منهما ضلعًا للزاوية. ومقدار الزاوية هو مقدار الفتحة بين الضلعين، ويُقاس عادة بوحدة الدرجة ورمزها دائرة صغيرة تُكتب أعلى الرقم، وتُقاس بأداة تسمى المنقلة.

أهمية الموضوع

تظهر أهمية الزوايا في حياتنا اليومية وفي كثير من العلوم والمهن، فالمهندس يستخدمها في تصميم المباني والجسور، والنجار يقطع الخشب بزوايا دقيقة ليلتصق بإحكام، والملاح والطيار يحددان اتجاههما بالزوايا، والرسام يستعين بها في رسم المنظور. كما أنها أساس لدراسة المثلثات وحساب المثلثات في المراحل المتقدمة.

أهداف البحث

• تعريف الزاوية وتسمية أجزائها وطرق كتابتها.
• التمييز بين أنواع الزوايا حسب قياسها.
• تعلم قياس الزاوية ورسمها باستخدام المنقلة.
• التعرف على العلاقات بين الزوايا كالتتامّ والتكامل والتقابل بالرأس.
• حل مسائل تطبيقية على الزوايا في المثلث والرباعي.

عناصر البحث

أولًا: أجزاء الزاوية وطريقة تسميتها

لكل زاوية رأس وضلعان. وتُسمّى الزاوية بثلاثة أحرف يكون حرف الرأس في الوسط، فإذا كان الرأس النقطة ب والضلعان يمران بالنقطتين أ وج فتُسمّى الزاوية أ ب ج. ويمكن أن تُسمّى بحرف الرأس وحده إذا لم يكن هناك التباس، أو برقم صغير يوضع داخلها.

ثانيًا: أنواع الزوايا حسب القياس

ثالثًا: قياس الزاوية بالمنقلة

المنقلة أداة نصف دائرية مدرجة من صفر إلى ١٨٠ درجة. ولقياس زاوية نتبع الخطوات الآتية:

1. نضع مركز المنقلة، وهو النقطة الصغيرة في منتصف حافتها المستقيمة، على رأس الزاوية تمامًا.
2. ندير المنقلة حتى ينطبق أحد ضلعي الزاوية على خط الصفر في الحافة.
3. نقرأ الرقم الذي يمر به الضلع الآخر على التدريج، مع الانتباه إلى أي التدريجين نستعمل، فنختار الذي يبدأ من الصفر عند الضلع الذي وضعناه على خط الصفر.
4. نتأكد من معقولية القراءة، فإذا كانت الزاوية تبدو حادة فيجب أن تكون القراءة أقل من ٩٠ درجة.

ولرسم زاوية معلومة القياس نرسم ضلعًا أفقيًا، ونضع عليه المنقلة، ونعلّم النقطة عند القياس المطلوب، ثم نصل بين الرأس وتلك النقطة.

رابعًا: العلاقات بين الزوايا

• الزاويتان المتتامتان: مجموع قياسيهما ٩٠ درجة، فإذا كانت إحداهما ٣٥ درجة فالأخرى ٥٥ درجة.
• الزاويتان المتكاملتان: مجموع قياسيهما ١٨٠ درجة، وتنتجان غالبًا عندما يقطع مستقيم مستقيمًا آخر.
• الزاويتان المتجاورتان: تشتركان في رأس وضلع واحد ولا تتداخلان.
• الزاويتان المتقابلتان بالرأس: تنتجان من تقاطع مستقيمين، وهما دائمًا متساويتان في القياس.

خامسًا: الزوايا والمستقيمات المتوازية

إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين نتجت ثمان زوايا بينها علاقات ثابتة، فالزوايا المتناظرة متساوية، والزوايا المتبادلة داخليًا متساوية كذلك، والزوايا الداخلية الواقعة على جهة واحدة من القاطع متكاملة. وتُستخدم هذه الخصائص في إثبات توازي مستقيمين أو في إيجاد زاوية مجهولة.

سادسًا: الزوايا في المضلعات

مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة، وفي أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة. ويمكن حساب مجموع زوايا أي مضلع محدب عدد أضلاعه ن بالقانون الآتي:

(n − 2) × 180°

فمجموع زوايا الخماسي يساوي ثلاثة أضعاف ١٨٠ أي ٥٤٠ درجة، ومجموع زوايا السداسي يساوي أربعة أضعاف ١٨٠ أي ٧٢٠ درجة.

سابعًا: أمثلة محلولة

المثال الأول: مثلث فيه زاويتان قياس الأولى ٥٠ درجة وقياس الثانية ٧٠ درجة، أوجد الزاوية الثالثة.

مجموع الزوايا الثلاث ١٨٠ درجة، ومجموع المعلومتين ١٢٠ درجة، فتكون الزاوية الثالثة:

180° − 120° = 60°

المثال الثاني: زاويتان متتامتان قياس إحداهما ضعف قياس الأخرى، أوجد كلًّا منهما.

نفرض أن الصغرى س فتكون الكبرى ضعفها، فيكون مجموعهما ثلاثة أمثال س، وهو يساوي ٩٠ درجة، إذن س تساوي ٣٠ درجة والكبرى ٦٠ درجة.

المثال الثالث: تقاطع مستقيمان فكانت إحدى الزوايا الناتجة ١١٠ درجة، أوجد باقي الزوايا الثلاث.

المقابلة لها بالرأس تساوي ١١٠ درجة، وكل من الزاويتين الأخريين تكمل الأولى إلى ١٨٠ درجة، فتكون كل منهما ٧٠ درجة.

ثامنًا: الزاوية في الحياة اليومية

• الساعة: يتحرك عقرب الدقائق ست درجات كل دقيقة، فيصنع مع عقرب الساعات زاويا تتغير باستمرار.
• العمارة: تعتمد الجدران القائمة على زاوية ٩٠ درجة بين الجدار والأرض.
• الرياضة: زاوية رمي الكرة تؤثر في المسافة التي تقطعها.
• القبلة: يُستعان بالزاوية بين الشمال واتجاه القبلة لتحديد الاتجاه الصحيح.

النتائج

• الزاوية تتكون من شعاعين يلتقيان في رأس مشترك، وتُقاس بالدرجات.
• تنقسم الزوايا حسب قياسها إلى حادة وقائمة ومنفرجة ومستقيمة ومنعكسة وكاملة.
• الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان، والمتتامتان مجموعهما ٩٠ درجة، والمتكاملتان مجموعهما ١٨٠ درجة.
• مجموع زوايا المثلث ١٨٠ درجة ومجموع زوايا الرباعي ٣٦٠ درجة.

التوصيات

• التدرب على استخدام المنقلة وقراءة التدريج الصحيح منها.
• رسم الزوايا بدقة قبل حل المسائل، لأن الرسم يساعد على فهم العلاقات.
• ربط الزوايا بالأمثلة الواقعية لترسيخ المفهوم.

الخاتمة

عرضنا في هذا البحث مفهوم الزاوية وأجزاءها وأنواعها وطريقة قياسها، ثم العلاقات التي تجمع بين الزوايا وأمثلة محلولة تطبيقًا عليها. وتبيّن أن الزاوية مفهوم بسيط في ظاهره لكنه أساس لكثير من الفروع الرياضية والتطبيقات الهندسية، وأن إتقانه يمهّد لفهم المثلثات والأشكال الهندسية الأكثر تعقيدًا.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلتين الابتدائية والمتوسطة، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتاب أصول الهندسة لإقليدس، في الهندسة المستوية.
• موسوعات الرياضيات المدرسية العامة في موضوع الهندسة المستوية.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، الزوايا وقياساتها