بحث عن المتجهات

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الكون الذي خلقه الله يجري بقوانين دقيقة تدرسها الفيزياء والرياضيات، وقد دعانا الله إلى التفكر فيه والنظر في ملكوته:

﴿قُلِ انْظُرُوا مَاذَا فِي السَّمَاوَاتِ وَالْأَرْضِ ۚ وَمَا تُغْنِي الْآيَاتُ وَالنُّذُرُ عَنْ قَوْمٍ لَا يُؤْمِنُونَ﴾ [يونس: 101]

ولكي نصف حركة الأجسام والقوى التي تؤثر فيها لا يكفي أن نقول كم، بل نحتاج أيضًا إلى أن نقول إلى أين. ومن هنا جاءت المتجهات، وهي أداة رياضية مهمة في الفيزياء والهندسة. وفي هذا البحث نتعرف على المتجهات وخصائصها وعملياتها وتطبيقاتها.

تعريف الموضوع

المتجه كمية فيزيائية أو رياضية لها مقدار واضح واتجاه، كالإزاحة والسرعة والتسارع والقوة. أما الكمية القياسية فلها مقدار فقط دون اتجاه، كالكتلة والزمن والمسافة ودرجة الحرارة والطاقة.

مثال: إذا قلنا إن سيارة قطعت مسافة مئة كيلومتر فهذه كمية قياسية، وإذا قلنا إنها تحركت مئة كيلومتر شمالًا فهذه إزاحة وهي كمية متجهة.

أهمية الموضوع

• تُستخدم المتجهات في وصف الحركة والقوى في الفيزياء.
• تُستعمل في الهندسة والملاحة وتصميم الجسور والمباني.
• لها دور أساسي في الحاسب والرسوميات وألعاب الفيديو.
• هي أساس مهم لدراسة الجبر الخطي والتفاضل والتكامل في المراحل الجامعية.

أهداف البحث

• التعرف على المتجه وطرق تمثيله.
• التمييز بين الكمية المتجهة والكمية القياسية.
• إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد قياسي على المتجهات.
• تحليل المتجه إلى مركبتيه.
• حل مسائل تطبيقية على المتجهات.

أولًا: تمثيل المتجه

يُمثَّل المتجه هندسيًا بسهم، طول السهم يدل على مقداره واتجاهه يدل على اتجاه المتجه. وللسهم نقطة بداية ونقطة نهاية. ويُرمز للمتجه عادة بحرف فوقه سهم صغير، أو بحرف غامق، فنكتب المتجه أ، ومقداره يُكتب بين خطين رأسيين. ويكون المتجهان متساويين إذا تساويا في المقدار والاتجاه حتى لو اختلف موضعهما، وإذا كان لهما المقدار نفسه واتجاهان متعاكسان سُمي أحدهما معكوس الآخر.

وفي المستوى الإحداثي يُكتب المتجه بدلالة مركبتيه على المحورين السيني والصادي:

A = (A_x , A_y)

ويُحسب مقداره بنظرية فيثاغورس:

|A| = √( A_x² + A_y² )

ثانيًا: جمع المتجهات

الطريقة الهندسية

• طريقة الذيل إلى الرأس: نرسم المتجه الأول، ثم نرسم المتجه الثاني بحيث تبدأ نقطة بدايته من نهاية الأول، ثم نصل بداية الأول بنهاية الثاني، فيكون هذا المتجه هو المحصلة.
• طريقة متوازي الأضلاع: نرسم المتجهين من نقطة واحدة، ونكمل متوازي الأضلاع، فيكون قطره الذي يخرج من النقطة نفسها هو المحصلة.

الطريقة التحليلية

نجمع المركبات المتناظرة:

R = A + B = ( A_x + B_x , A_y + B_y )

ومثال محلول:

إذا كان المتجه أ هو الزوج المرتب ثلاثة وأربعة، والمتجه ب هو الزوج المرتب اثنان وواحد، فأوجد محصلتهما ومقدارها.

A = (3 , 4) , B = (2 , 1)

R = (3 + 2 , 4 + 1) = (5 , 5)

|R| = √(25 + 25) = √50 ≈ 7.07

فمقدار المحصلة نحو سبعة وسبعة أجزاء من مئة تقريبًا.

ومثال آخر على المتجهين المتعامدين: يمشي رجل ثلاثة أمتار شرقًا ثم أربعة أمتار شمالًا. فإزاحته الكلية بنظرية فيثاغورس:

|R| = √( 3² + 4² ) = √25 = 5

أي خمسة أمتار، بينما المسافة التي مشاها سبعة أمتار. وهذا يوضح الفرق بين المسافة القياسية والإزاحة المتجهة.

ثالثًا: طرح المتجهات

نطرح المتجه ب من المتجه أ بجمع أ إلى معكوس ب:

A − B = A + ( −B )

وتحليليًا نطرح المركبات المتناظرة:

A − B = ( A_x − B_x , A_y − B_y )

رابعًا: ضرب المتجه في عدد قياسي

عند ضرب المتجه في عدد حقيقي موجب يتغير مقداره بمقدار هذا العدد ويبقى الاتجاه كما هو، وعند ضربه في عدد سالب ينعكس الاتجاه أيضًا. فإذا ضربنا المتجه في اثنين تضاعف مقداره، وإذا ضربناه في نصف تقلص مقداره إلى النصف.

خامسًا: تحليل المتجه إلى مركبتين

إذا صنع المتجه A زاوية θ مع المحور الأفقي فإن مركبتيه:

A_x = |A| cos θ

A_y = |A| sin θ

مثال: قوة مقدارها عشرة نيوتن تصنع زاوية ثلاثين درجة مع الأفقي. فمركبتاها:

F_x = 10 cos 30° ≈ 8.66

F_y = 10 sin 30° = 5

فالمركبة الأفقية نحو ثمانية نيوتن وثلثي النيوتن تقريبًا، والمركبة الرأسية خمسة نيوتن.

ولإيجاد زاوية المتجه من مركبتيه نستعمل:

tan θ = A_y / A_x

سادسًا: الضرب القياسي للمتجهات

الضرب القياسي لمتجهين ناتجه عدد وليس متجهًا، ويُعرَّف بالعلاقة:

A · B = |A| |B| cos θ

حيث θ الزاوية بين المتجهين. وبدلالة المركبات:

A · B = A_xB_x + A_yB_y

ويكون الناتج صفرًا إذا كان المتجهان متعامدين، لأن جيب التمام للزاوية القائمة صفر. ويُستفاد منه في حساب الشغل الذي تبذله قوة على جسم:

W = F · d = F d cos θ

مثال: متجه أ يساوي الزوج ثلاثة وأربعة، ومتجه ب يساوي الزوج اثنين وسالب واحد، فإن:

A · B = (3)(2) + (4)(−1) = 6 − 4 = 2

تطبيقات المتجهات

• في الفيزياء: تحليل القوى على الأجسام، وحساب محصلة القوى، ودراسة حركة المقذوفات.
• في الملاحة: تحديد مسار الطائرات والسفن مع تأثير الرياح والتيارات البحرية.
• في الهندسة: حساب الأحمال على الجسور والمباني.
• في الحاسب: تمثيل الحركة والاتجاه في الرسوميات وألعاب الفيديو.

ومثال ملاحي: قارب يسير بسرعة في اتجاه الشرق وتيار النهر يدفعه نحو الشمال، فالسرعة الفعلية للقارب هي محصلة المتجهين، ولذلك لا يصل إلى النقطة المقابلة مباشرة ما لم يعدّل اتجاهه.

النتائج

• المتجه كمية لها مقدار واتجاه، والكمية القياسية لها مقدار فقط.
• تُجمع المتجهات هندسيًا بطريقة الذيل إلى الرأس أو متوازي الأضلاع، وتحليليًا بجمع المركبات.
• يُحلل المتجه إلى مركبتين أفقية ورأسية باستعمال جيب التمام والجيب.
• الضرب القياسي للمتجهات ناتجه عدد، ويُستعمل في حساب الشغل.
• للمتجهات تطبيقات كثيرة في الفيزياء والهندسة والملاحة والحاسب.

التوصيات

• التدرب على حل مسائل متنوعة في جمع المتجهات وتحليلها.
• الاستعانة بالرسم عند حل المسائل لتوضيح الاتجاهات.
• الاهتمام بالوحدات، وعدم الخلط بين الكمية القياسية والمتجهة.

الخاتمة

تعرّفنا في هذا البحث على المتجهات، وفرّقنا بينها وبين الكميات القياسية، وتعلمنا كيفية تمثيلها وجمعها وطرحها وتحليلها وضربها ضربًا قياسيًا، وحللنا أمثلة تبيّن فائدتها. ويتضح أن المتجهات لغة تصف بها الفيزياء حركة الأجسام وقواها بدقة. نسأل الله أن ينفعنا بما علمنا ويزيدنا علمًا.

المراجع

• كتب الفيزياء والرياضيات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتاب «الفيزياء الجامعية» لهيو يونغ وروجر فريدمان.
• كتاب «مبادئ الفيزياء» لريموند سيرواي.
• كتب الجبر الخطي والهندسة التحليلية المقررة في الجامعات.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، المتجهات