ورقاتمقدمة البحث
الحمد لله الذي خلق الإنسان وعلّمه البيان، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن بعض الكميات في العلوم لا يكفي لوصفها أن نذكر مقدارها، فعندما نقول إن سيارة تسير بسرعة مئة كيلومتر في الساعة فنحن لم نحدد إلى أين تتجه. ومن هنا ظهرت الحاجة إلى المتجهات التي تجمع بين المقدار والاتجاه. وفي هذا البحث ندرس المتجهات في المستوى الإحداثي وعملياتها الأساسية.
تعريف الموضوع
المتجه كمية لها مقدار واتجاه، ويمثَّل هندسيًا بقطعة مستقيمة موجهة (سهم)، نقطة بدايتها تسمّى نقطة البداية ونقطة نهايتها تسمّى نقطة النهاية. ويرمز له بحرف مثل v أو بنقطتي البداية والنهاية مثل AB. أما الكمية القياسية فلها مقدار فقط، كالزمن والكتلة ودرجة الحرارة والمسافة. ويُقصد بالمستوى الإحداثي المستوى الذي له محوران متعامدان هما محور السينات ومحور الصادات.
أهمية الموضوع
للمتجهات تطبيقات واسعة في الفيزياء كالسرعة والقوة والإزاحة والتسارع، وفي الهندسة والملاحة والطيران، وفي برمجة الألعاب والرسوم الحاسوبية، وفي علوم الهندسة المعمارية. وتُعدّ أساسًا لدراسة الجبر الخطي والتفاضل المتجهي في المراحل الجامعية.
أهداف البحث
- تعريف المتجه وتمييزه من الكمية القياسية.
- كتابة المتجه بالصورة الإحداثية وإيجاد طوله واتجاهه.
- إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي.
- إيجاد متجه الوحدة والضرب الداخلي والزاوية بين متجهين.
- حل مسائل تطبيقية على المتجهات.
عناصر البحث
أولًا: الصورة الإحداثية للمتجه
إذا كانت نقطة البداية A(x1 , y1) ونقطة النهاية B(x2 , y2) فإن الصورة الإحداثية للمتجه AB هي:
AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 )
مثال: إذا كانت A(1 , 2) وB(5 , 5) فإن المتجه AB يساوي ( 5 − 1 , 5 − 2 ) أي ( 4 , 3 ).
ثانيًا: طول المتجه (مقداره)
إذا كان المتجه v = ( a , b ) فإن طوله يُحسب بنظرية فيثاغورس:
|v| = √( a2 + b2 )
مثال: طول المتجه ( 4 , 3 ) يساوي الجذر التربيعي للمقدار ستة عشر زائد تسعة، أي الجذر التربيعي لخمسة وعشرين، فيكون الطول خمس وحدات.
ثالثًا: اتجاه المتجه
يُحدَّد اتجاه المتجه بالزاوية θ التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، ونحسبها من العلاقة:
tan θ = b / a
مع مراعاة الربع الذي يقع فيه المتجه. فالمتجه ( 1 , 1 ) يقع في الربع الأول وزاويته خمس وأربعون درجة. أما المتجه ( −1 , 1 ) فيقع في الربع الثاني وزاويته مئة وخمس وثلاثون درجة.
رابعًا: العمليات على المتجهات
ليكن u = ( a , b ) وv = ( c , d ) وk عددًا حقيقيًا، فإن:
| العملية | القاعدة |
|---|---|
| الجمع | u + v = ( a + c , b + d ) |
| الطرح | u − v = ( a − c , b − d ) |
| الضرب في عدد حقيقي | k u = ( k a , k b ) |
| المتجه المعاكس | −u = ( −a , −b ) |
ويمكن تمثيل الجمع هندسيًا بطريقتين: قاعدة المثلث، حيث نضع بداية المتجه الثاني عند نهاية الأول فيكون المجموع من بداية الأول إلى نهاية الثاني، وقاعدة متوازي الأضلاع حيث نرسم المتجهين من نقطة بداية واحدة والمجموع هو القطر الواصل بين نقطة البداية والرأس المقابل. أما ضرب المتجه في عدد موجب أكبر من واحد فيمدّده، وفي عدد بين صفر وواحد يقصّره، وفي عدد سالب يعكس اتجاهه.
مثال: إذا كان u = ( 2 , 3 ) وv = ( 4 , −1 ) فإن:
- u + v = ( 6 , 2 )
- u − v = ( −2 , 4 )
- 3u = ( 6 , 9 )
- 2u − v = ( 0 , 7 )
خامسًا: المتجهات المتساوية والمتوازية
يكون المتجهان متساويين إذا تساويا في الطول والاتجاه، أي إذا تساوت مركباتهما المتناظرة. ويكون المتجهان متوازيين إذا كان أحدهما حاصل ضرب الآخر في عدد حقيقي غير صفري. فالمتجه ( 2 , 4 ) يوازي المتجه ( 1 , 2 ) لأنه يساوي ضعف الثاني. أما المتجه الصفري فمركبتاه صفر وطوله صفر وليس له اتجاه محدد.
سادسًا: متجه الوحدة
متجه الوحدة هو متجه طوله يساوي واحدًا، ونحصل عليه بقسمة المتجه على طوله:
û = v / |v|
مثال: متجه الوحدة في اتجاه ( 3 , 4 ) هو ( 3/5 , 4/5 ) لأن طول المتجه خمس وحدات. وأشهر متجهات الوحدة i = ( 1 , 0 ) في اتجاه محور السينات، وj = ( 0 , 1 ) في اتجاه محور الصادات، ويمكن كتابة أي متجه بدلالتهما:
( a , b ) = a i + b j
سابعًا: الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين
الضرب الداخلي لمتجهين u = ( a , b ) وv = ( c , d ) عدد حقيقي ناتجه:
u · v = a c + b d
ويرتبط بالزاوية θ بين المتجهين بالعلاقة:
cos θ = ( u · v ) / ( |u| |v| )
ويكون المتجهان متعامدين إذا كان ناتج ضربهما الداخلي صفرًا.
مثال: إذا كان u = ( 1 , 2 ) وv = ( 4 , −2 ) فإن u · v = 4 − 4 = 0 فالمتجهان متعامدان.
ثامنًا: تطبيقات فيزيائية
إذا سارت طائرة نحو الشرق بسرعة ثابتة وهبّت ريح نحو الشمال، فإن السرعة الفعلية للطائرة بالنسبة إلى الأرض هي مجموع متجهين، ويمكن إيجاد مقدارها بنظرية فيثاغورس واتجاهها بالزاوية. كذلك تُحلَّل القوة المؤثرة على جسم على سطح مائل إلى مركبتين متعامدتين لدراسة حركته. وتُجمع القوى المؤثرة في جسم واحد جمعًا اتجاهيًا لإيجاد القوة المحصلة.
مثال: سارت سفينة بسرعة ثلاث وحدات نحو الشرق وسرعة تيار الماء أربع وحدات نحو الشمال، فالسرعة المحصلة هي المتجه ( 3 , 4 ) أي خمس وحدات بزاوية تقارب سبعًا وخمسين درجة شمال الشرق.
النتائج
- المتجه كمية لها مقدار واتجاه، ويمثَّل بسهم أو بالصورة الإحداثية.
- يُحسب طول المتجه بنظرية فيثاغورس، ويُحدَّد اتجاهه بزاويته مع محور السينات.
- تُجرى العمليات على المركبات المتناظرة للمتجهات.
- متجه الوحدة طوله واحد، والضرب الداخلي يكشف التعامد ويعطي الزاوية بين متجهين.
التوصيات
- التدرب على تمثيل المتجهات بيانيًا على المستوى الإحداثي.
- ربط المتجهات بالتطبيقات الفيزيائية في الحياة اليومية.
- استعمال برامج الرسم الهندسي لتجربة عمليات المتجهات.
الخاتمة
درسنا في هذا البحث المتجهات في المستوى الإحداثي، وتعرفنا على صورتها الإحداثية وطولها واتجاهها وعملياتها الأساسية، ومتجه الوحدة والضرب الداخلي، وحللنا أمثلة تطبيقية. وتبيّن أن المتجهات لغة رياضية تصف الحركة والقوى في عالمنا، وهي مدخل مهم لمزيد من العلوم.
المراجع
- كتب الرياضيات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
- كتب حساب المثلثات والهندسة التحليلية الجامعية.
- كتب الفيزياء للمرحلة الثانوية في موضوع الكميات المتجهة.