ورقاتمقدمة البحث
الحمد لله الذي خلق كل شيء بقدر، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الهندسة من فروع الرياضيات التي تدرس الأشكال وخصائصها وعلاقاتها، ومن أهم موضوعاتها تطابق المثلثات، لأنه أداة أساسية في إثبات كثير من النظريات الهندسية وحل المسائل. وفي هذا البحث نتعرف على معنى التطابق وحالاته وطرق استخدامه.
تعريف الموضوع
يتطابق مثلثان إذا انطبق أحدهما على الآخر تمامًا عند وضعه فوقه، أي إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متساوية في الطول وزواياهما المتناظرة متساوية في القياس. وعند كتابة التطابق نرتّب رؤوس المثلثين بحسب التناظر، فإذا كتبنا أن المثلث ABC يطابق المثلث DEF فمعنى ذلك أن الرأس A يناظر D والرأس B يناظر E والرأس C يناظر F. ويُرمز للتطابق بالرمز:
△ABC ≅ △DEF
أهمية الموضوع
تكمن أهمية التطابق في أنه يتيح إثبات تساوي أطوال أو زوايا لا يمكن قياسها مباشرة، بالانتقال من تطابق مثلثين إلى تساوي عناصرهما المتناظرة الأخرى. ويُستخدم في إثبات خصائص المضلعات والدوائر، وفي أعمال المساحة والهندسة المعمارية والتصميم الصناعي، حيث تُصنع قطع كثيرة متطابقة لتؤدي وظيفتها بدقة.
أهداف البحث
- تعريف المثلثين المتطابقين والتناظر بين عناصرهما.
- التعرف على حالات التطابق الأربع للمثلثات العامة.
- معرفة حالات تطابق المثلثات القائمة الزاوية.
- حل أمثلة تطبيقية على التطابق وكتابة البرهان.
- التفريق بين التطابق والتشابه.
أولًا: حالات تطابق المثلثات
لا نحتاج إلى معرفة العناصر الستة كلها لنحكم بالتطابق، فتكفي ثلاثة عناصر مناسبة، وهذه هي الحالات:
الحالة الأولى: ثلاثة أضلاع (SSS)
إذا تساوت أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث مع أطوال الأضلاع الثلاثة المناظرة في مثلث آخر فالمثلثان متطابقان. وسبب ذلك أن المثلث يتحدد شكله تمامًا بأطوال أضلاعه.
الحالة الثانية: ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS)
إذا تساوى ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في مثلث مع ما يناظرها في مثلث آخر فالمثلثان متطابقان. ويجب أن تكون الزاوية بين الضلعين لا خارجهما.
الحالة الثالثة: زاويتان والضلع المحصور بينهما (ASA)
إذا تساوت زاويتان والضلع المحصور بينهما في مثلث مع ما يناظرها في مثلث آخر فالمثلثان متطابقان.
الحالة الرابعة: زاويتان وضلع غير محصور (AAS)
إذا تساوت زاويتان وضلع غير محصور بينهما في مثلث مع ما يناظرها في مثلث آخر فالمثلثان متطابقان، لأن الزاوية الثالثة تساوي أيضًا الزاوية الثالثة في المثلث الآخر، فنعود إلى الحالة السابقة.
ملاحظة مهمة
لا تكفي ثلاث زوايا متساوية لإثبات التطابق، فقد يكون المثلثان من الشكل نفسه مختلفين في الحجم، وهو ما يسمى التشابه. وكذلك لا تكفي حالة ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما في الحالة العامة.
ثانيًا: تطابق المثلثات القائمة الزاوية
للمثلثات القائمة حالات خاصة، لأن إحدى زواياها معلومة وهي القائمة:
- الوتر وضلع قائم (HL): إذا تساوى الوتر وأحد الضلعين القائمين في مثلثين قائمين فهما متطابقان.
- ضلعان قائمان (LL): إذا تساوى الضلعان القائمان في مثلث مع المناظرين في مثلث قائم آخر فهما متطابقان.
- ضلع قائم وزاوية حادة (LA): إذا تساوى ضلع قائم وزاوية حادة في مثلثين قائمين فهما متطابقان.
- وتر وزاوية حادة (HA): إذا تساوى الوتر وزاوية حادة في مثلثين قائمين فهما متطابقان.
ثالثًا: أمثلة محلولة
المثال الأول: في المثلثين ABC وDEF نعلم أن AB يساوي DE، وأن BC يساوي EF، وأن AC يساوي DF. هل المثلثان متطابقان؟
الحل: الأضلاع الثلاثة في أحد المثلثين تساوي الأضلاع الثلاثة المناظرة في المثلث الآخر، فالمثلثان متطابقان بحالة ثلاثة أضلاع، وبذلك تتساوى الزوايا المناظرة أيضًا.
المثال الثاني: في الشكل رباعي ABCD قطراه AC وBD يتقاطعان في النقطة O، وكانت O منتصف كل من القطرين. أثبت أن المثلث AOB يطابق المثلث COD.
- طول AO يساوي طول OC لأن O منتصف القطر AC.
- طول BO يساوي طول OD لأن O منتصف القطر BD.
- زاوية AOB تساوي زاوية COD لأنهما متقابلتان بالرأس.
إذن المثلثان متطابقان بحالة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، ويترتب على ذلك أن AB يساوي CD، وهو أحد خصائص متوازي الأضلاع.
المثال الثالث: إذا علمنا أن مثلثين قائمين فيهما وتر طوله عشرة سنتيمترات وضلع قائم طوله ستة سنتيمترات في كل منهما، فهل هما متطابقان؟ الجواب: نعم، بحالة الوتر وضلع قائم، ويمكن التحقق بنظرية فيثاغورس لأن الضلع القائم الثاني في كل منهما يساوي ثمانية سنتيمترات.
ومن الأخطاء الشائعة أن يكتب الطالب ترتيب الرؤوس عشوائيًا، فيُخطئ في تحديد العناصر المتناظرة. والحل أن يبدأ برسم المثلثين بالوضع نفسه، ثم يلوّن العناصر المتساوية بالألوان نفسها حتى يرى التناظر بوضوح، ويراجع أن الأضلاع المتساوية تقابل زوايا متساوية.
ومن الحالات التي تتكرر في الأشكال: الضلع المشترك بين مثلثين متجاورين، والزاويتان المتقابلتان بالرأس عند تقاطع مستقيمين، والزاويتان المتبادلتان بين مستقيمين متوازيين. وكلها أسباب مقبولة للتساوي إذا ذُكرت بدقة.
رابعًا: خطوات كتابة البرهان
- نرسم الشكل ونكتب المعطيات والمطلوب إثباته.
- نحدد ثلاثة عناصر متساوية في المثلثين، مع ذكر سبب كل تساوٍ، كأن نقول: معطى، أو ضلع مشترك، أو زاويتان متقابلتان بالرأس.
- نذكر حالة التطابق المستخدمة.
- نستنتج أن العناصر المناظرة الباقية متساوية، لأن عناصر المثلثين المتطابقين المتناظرة متساوية.
خامسًا: الفرق بين التطابق والتشابه
| وجه المقارنة | التطابق | التشابه |
|---|---|---|
| الشكل | الشكل نفسه | الشكل نفسه |
| الحجم | الحجم نفسه تمامًا | قد يختلف الحجم |
| الزوايا المتناظرة | متساوية | متساوية |
| الأضلاع المتناظرة | متساوية في الطول | أطوالها متناسبة |
فكل مثلثين متطابقين متشابهان، لكن ليس كل مثلثين متشابهين متطابقين.
سادسًا: تطبيقات التطابق في الحياة
- في الجسور والهياكل المعدنية التي تتكون من مثلثات متطابقة تعطيها قوة وثباتًا.
- في قياس المسافات التي يصعب الوصول إليها، كعرض نهر، بتكوين مثلثين متطابقين على الجانبين.
- في تصميم الأنماط الزخرفية والبلاط وقطع الأثاث المتماثلة.
- في صناعة القطع الميكانيكية المتطابقة التي يمكن تبديل بعضها ببعض.
الخاتمة
تعرفنا في هذا البحث على معنى المثلثين المتطابقين وحالات التطابق الأربع، وعلى حالات تطابق المثلثات القائمة، وحللنا أمثلة وتعلمنا خطوات كتابة البرهان، وميزنا بين التطابق والتشابه. وتبقى المهارة في هذا الموضوع بالتدريب المستمر على المسائل وكتابة الأسباب بدقة، فالبرهان الهندسي تدريب على التفكير المنظم الذي ينفع الطالب في مجالات كثيرة.
المراجع
- كتب الرياضيات للمرحلتين المتوسطة والثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
- كتاب «الأصول» لإقليدس، وشروحه المترجمة.
- كتب الهندسة المستوية في المكتبات الجامعية.