بحث عن تمييز متوازي الأضلاع

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الهندسة من أجمل فروع الرياضيات، لأنها تعلّمنا التفكير المنظم والاستدلال المنطقي وإثبات الحقائق بالبرهان. ومن موضوعاتها المهمة الأشكال الرباعية، وفي مقدمتها متوازي الأضلاع الذي نراه في تصميم النوافذ والأبواب والبلاط وكثير من المباني. وفي هذا البحث نتعلم كيف نتحقق من أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع، وهو ما يسمى تمييز متوازي الأضلاع.

تعريف الموضوع

متوازي الأضلاع شكل رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان. أما التمييز فهو مجموعة الشروط التي إذا تحقق أحدها في الشكل الرباعي كان الشكل متوازي أضلاع. وبعبارة أخرى، الخصائص تنطبق على متوازي الأضلاع الذي نعرف أنه كذلك، أما الشروط فنستعملها لإثبات أن شكلًا رباعيًا ما هو متوازي أضلاع.

أهمية الموضوع

تعلمنا دراسة التمييز كيف نبرهن، وكيف نستفيد من المعطيات القليلة لنصل إلى نتيجة صحيحة. كما أن هذا الموضوع أساس لدراسة المستطيل والمعين والمربع، ولحل كثير من مسائل الهندسة والمساحة. وهو يُستعمل عمليًا في الهندسة المعمارية وتصميم الأثاث والآلات.

أهداف البحث

• تعريف متوازي الأضلاع وذكر خصائصه.
• التعرف على شروط تمييز متوازي الأضلاع.
• برهان بعض هذه الشروط بخطوات منظمة.
• التعرف على الحالات الخاصة من متوازي الأضلاع.
• تطبيق الشروط في حل مسائل هندسية.

عناصر البحث

أولًا: خصائص متوازي الأضلاع

إذا كان الشكل الرباعي أ ب ج د متوازي أضلاع فإنه تتحقق فيه الخصائص الآتية:

• كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان في الطول.
• كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس.
• كل زاويتين متتاليتين متكاملتان، أي مجموع قياسيهما مئة وثمانون درجة.
• القطران ينصف كل منهما الآخر، أي يتقاطعان في نقطة هي منتصف كل منهما.
• كل قطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين.

ثانيًا: شروط تمييز متوازي الأضلاع

يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا تحقق فيه أحد الشروط الآتية:

1. كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان، وهو التعريف نفسه.
2. كل ضلعين متقابلين فيه متساويان في الطول.
3. ضلعان متقابلان فيه متوازيان ومتساويان في الطول معًا.
4. كل زاويتين متقابلتين فيه متساويتان في القياس.
5. قطراه ينصف كل منهما الآخر.

ثالثًا: برهان بعض الشروط

برهان الشرط الثالث

المعطيات: الشكل الرباعي أ ب ج د فيه الضلع أ ب يوازي الضلع ج د ويساويه في الطول.

المطلوب: إثبات أن الشكل أ ب ج د متوازي أضلاع.

البرهان:

1. نرسم القطر ب د، فيتكون المثلثان أ ب د وج د ب.
2. الضلع أ ب يساوي الضلع ج د (معطى).
3. الضلع ب د مشترك بين المثلثين.
4. زاوية أ ب د تساوي زاوية ج د ب لأنهما متبادلتان داخليًا، إذ إن أ ب يوازي ج د والقطر ب د قاطع لهما.
5. إذن المثلثان متطابقان بحسب حالة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
6. ينتج أن الضلع أ د يساوي الضلع ب ج، وأن زاوية أ د ب تساوي زاوية ج ب د.
7. وبما أن الزاويتين المتبادلتين متساويتان فإن أ د يوازي ب ج.
8. إذن كل ضلعين متقابلين متوازيان، فالشكل أ ب ج د متوازي أضلاع. وهو المطلوب.

برهان الشرط الخامس

المعطيات: في الشكل الرباعي أ ب ج د يتقاطع القطران في النقطة م، وتكون م منتصف أ ج ومنتصف ب د.

المطلوب: إثبات أن الشكل أ ب ج د متوازي أضلاع.

البرهان: في المثلثين أ م ب وج م د: أ م يساوي ج م، وب م يساوي د م لأن م منتصف كل من القطرين، وزاوية أ م ب تساوي زاوية ج م د لأنهما متقابلتان بالرأس. فالمثلثان متطابقان، ومنه أن الضلع أ ب يساوي الضلع ج د، وأن زاوية م أ ب تساوي زاوية م ج د وهما متبادلتان فيكون أ ب موازيًا ج د. وبذلك يكون ضلعان متقابلان متوازيين ومتساويين، فالشكل متوازي أضلاع بحسب الشرط الثالث.

رابعًا: الحالات الخاصة من متوازي الأضلاع

خامسًا: أمثلة محلولة

المثال الأول: شكل رباعي أ ب ج د فيه أ ب يساوي 6 سم وب ج يساوي 4 سم وج د يساوي 6 سم ود أ يساوي 4 سم. هل هو متوازي أضلاع؟

الحل: كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول، أ ب يساوي ج د وب ج يساوي د أ، فبحسب الشرط الثاني يكون الشكل متوازي أضلاع.

المثال الثاني: في الشكل الرباعي أ ب ج د زاوية أ تساوي 70 درجة وزاوية ج تساوي 70 درجة وزاوية ب تساوي 110 درجات وزاوية د تساوي 110 درجات. هل هو متوازي أضلاع؟

الحل: كل زاويتين متقابلتين متساويتان، فبحسب الشرط الرابع يكون الشكل متوازي أضلاع. ونلاحظ أيضًا أن مجموع قياسي كل زاويتين متتاليتين مئة وثمانون درجة.

المثال الثالث: في متوازي أضلاع أ ب ج د طول الضلع أ ب يساوي ثلاثة س زائد اثنين، وطول الضلع ج د يساوي خمسة س ناقص أربعة، أوجد قيمة س وطول الضلع.

الحل: لأن الضلعين المتقابلين متساويان نكتب المعادلة:

3x + 2 = 5x - 4

6 = 2x

x = 3

وبالتعويض يكون طول الضلع أ ب مساويًا ثلاثة في ثلاثة زائد اثنين، أي أحد عشر سنتيمترًا.

سادسًا: خطوات إثبات أن الشكل متوازي أضلاع

• اقرأ المعطيات جيدًا وارسم الشكل ورمّز عليه.
• حدد الشرط الأقرب إلى المعطيات، فإن كان المعطى قطرين فاختر شرط القطرين، وإن كان المعطى أضلاعًا فاختر شرط الأضلاع.
• اكتب البرهان في خطوات مرتبة، وبرر كل خطوة بمعطى أو نظرية.
• اختم بكتابة النتيجة المطلوبة.

النتائج

• متوازي الأضلاع شكل رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.
• للتحقق من أن شكلًا رباعيًا متوازي أضلاع يكفي تحقق شرط واحد من خمسة شروط.
• الشرط الثالث، وهو ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان، من أكثر الشروط استعمالًا في البراهين.
• المستطيل والمعين والمربع حالات خاصة من متوازي الأضلاع.

التوصيات

• التدرب على رسم الأشكال ووضع الرموز عليها قبل البدء بالبرهان.
• مراجعة حالات تطابق المثلثات لأنها أساس معظم البراهين.
• حل تمارين متنوعة للتفريق بين الخصائص والشروط.

الخاتمة

تعرفنا في هذا البحث على متوازي الأضلاع وخصائصه وشروط تمييزه، وبرهنا على شرطين منها، وتعرفنا على حالاته الخاصة وحللنا أمثلة تطبيقية. وبهذا يتضح أن الرياضيات علم قائم على الدقة والترتيب، وأن التدرب على البرهان ينمي التفكير المنطقي لدى الطالب، والحمد لله رب العالمين.

المراجع

• كتاب الرياضيات للمرحلة المتوسطة والثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتاب أسس الهندسة، المقررات الجامعية في الهندسة المستوية.
• كتاب العناصر لإقليدس في الهندسة.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، تمييز متوازي الأضلاع