بحث عن متوازي الأضلاع

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد وعلى آله وصحبه أجمعين. أما بعد، فإن علم الهندسة من أقدم العلوم التي اهتم بها الإنسان، وقد نشأ من حاجته إلى قياس الأراضي وبناء البيوت وتصميم الأدوات. ومن الأشكال الهندسية المهمة التي ندرسها في الرياضيات متوازي الأضلاع، وهو شكل رباعي نراه في تصاميم الجسور والأسقف والرافعات وبلاط الأرضيات. وفي هذا البحث نتعرف على تعريفه وخصائصه وقوانين مساحته ومحيطه وأمثلة عليه.

تعريف الموضوع

متوازي الأضلاع شكل رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان. فإذا كان الشكل ABCD متوازي أضلاع فإن الضلع AB يوازي الضلع DC، والضلع AD يوازي الضلع BC. ويُسمى أحد ضلعيه المتوازيين قاعدة، والمسافة العمودية بين القاعدة والضلع المقابل لها ارتفاعًا.

أهمية الموضوع

يعد متوازي الأضلاع من الأشكال الأساسية في الهندسة، وتنطلق منه أشكال أخرى مثل المستطيل والمعين والمربع. وتساعد دراسته على حل مسائل الإثبات الهندسي وحساب المساحات، ويستعمله المهندسون والنجارون والمصممون في أعمالهم، كما أن الخواص الجميلة لأقطاره وزواياه تدرب الطالب على التفكير المنطقي والاستدلال.

أهداف البحث

• تعريف متوازي الأضلاع وتحديد عناصره.
• التعرف على خصائصه الأضلاع والزوايا والأقطار.
• معرفة الشروط التي تجعل الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
• حساب محيطه ومساحته بالقوانين.
• التمييز بين حالاته الخاصة: المستطيل والمعين والمربع.

عناصر البحث

أولًا: خصائص متوازي الأضلاع

1. كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان، أي متساويان في الطول.
2. كل زاويتين متقابلتين متطابقتان، أي متساويتان في القياس.
3. كل زاويتين متتاليتين مجموعهما ١٨٠ درجة، أي متكاملتان.
4. القطران ينصّف كل منهما الآخر، أي يتقاطعان في نقطة هي منتصف كل منهما.
5. كل قطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين.

ومجموع زوايا أي شكل رباعي ٣٦٠ درجة، وفي متوازي الأضلاع يتحقق ذلك لأن كل زاويتين متجاورتين مجموعهما ١٨٠ درجة.

ثانيًا: شروط كون الشكل الرباعي متوازي أضلاع

يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا تحقق فيه أحد الشروط الآتية:

• كل ضلعين متقابلين متوازيان.
• كل ضلعين متقابلين متطابقان.
• كل زاويتين متقابلتين متطابقتان.
• القطران ينصّف كل منهما الآخر.
• ضلعان متقابلان متوازيان ومتطابقان معًا.

ثالثًا: المحيط والمساحة

إذا كان طولا ضلعين متجاورين a وb، وكان ارتفاع الشكل h على القاعدة b، فإن:

Perimeter = 2(a + b)

Area = b × h

أي أن المحيط يساوي ضعف مجموع طولي ضلعين متجاورين، والمساحة تساوي القاعدة مضروبة في الارتفاع. وينتبه الطالب إلى أن الارتفاع هو المسافة العمودية، وليس طول الضلع المائل. ويمكن تفسير قانون المساحة بقص مثلث من أحد جانبي متوازي الأضلاع ونقله إلى الجانب الآخر، فيتحول الشكل إلى مستطيل له القاعدة نفسها والارتفاع نفسه.

رابعًا: أمثلة محلولة

مثال ١: متوازي أضلاع طول قاعدته ١٠ سم وارتفاعه ٦ سم. أوجد مساحته.

Area = 10 × 6 = 60 cm²

إذن مساحته ستون سنتيمترًا مربعًا.

مثال ٢: متوازي أضلاع طولا ضلعين متجاورين فيه ثمانية سنتيمترات وخمسة سنتيمترات. أوجد محيطه.

Perimeter = 2 × (8 + 5) = 26 cm

إذن محيطه ستة وعشرون سنتيمترًا.

مثال ٣: في متوازي أضلاع قياس إحدى زواياه ٧٠ درجة. أوجد قياس باقي الزوايا.

الزاوية المقابلة لها تساوي ٧٠ درجة أيضًا. والزاويتان المتتاليتان متكاملتان، فكل منهما تساوي ١٨٠ − ٧٠ = ١١٠ درجات. فالزوايا الأربع هي سبعون ثم مئة وعشر ثم سبعون ثم مئة وعشر درجات، ومجموعها ٣٦٠ درجة.

مثال ٤: قطران متوازي الأضلاع يتقاطعان في النقطة O، وطول القطر AC يساوي ١٤ سم. أوجد طول AO.

القطران ينصّف كل منهما الآخر، فالنقطة O منتصف AC، ويكون طول AO نصف ١٤ أي ٧ سم.

مثال ٥: في متوازي أضلاع ABCD كانت الزاوية A تساوي 2x + 10 والزاوية B تساوي 3x − 5 بالدرجات. أوجد قيمة x.

الزاويتان A وB متتاليتان، فمجموعهما ١٨٠ درجة:

(2x + 10) + (3x − 5) = 180

5x + 5 = 180

5x = 175

x = 35

فتكون الزاوية A خمسًا وثمانين درجة، والزاوية B خمسًا وتسعين درجة، ومجموعهما مئة وثمانون درجة كما هو مطلوب. وهذه الطريقة تفيد في كل مسألة يُعطى فيها قياس الزوايا بدلالة متغير جبري.

برهان تطابق الأضلاع المتقابلة

نرسم القطر AC في متوازي الأضلاع ABCD، فينشأ مثلثان هما ABC وCDA. بما أن AB يوازي DC فإن زاويتي التبادل متساويتان، وبما أن AD يوازي BC فإن زاويتي التبادل الأخريين متساويتان. والقطر AC ضلع مشترك بين المثلثين، فيتطابق المثلثان بحسب حالة زاويتين وضلع بينهما. ومن تطابقهما يتساوى الضلعان المتقابلان، وتتساوى الزاويتان المتقابلتان.

خامسًا: الحالات الخاصة

وكل مستطيل ومعين ومربع هو متوازي أضلاع، لكن العكس غير صحيح، فليس كل متوازي أضلاع مستطيلًا أو معينًا.

سادسًا: تطبيقات في الحياة

• الأبواب القابلة للطي والجسور المتحركة التي تعتمد على حركة متوازي الأضلاع.
• المقص الرافع الذي يستعمل لرفع الأحمال.
• تصميم الزخارف وبلاط الأرضيات والأنماط الهندسية في العمارة الإسلامية.
• مساحات الأراضي ذات الأشكال المائلة.

النتائج

• متوازي الأضلاع شكل رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.
• أضلاعه وزواياه المتقابلة متطابقة، وقطراه ينصّف كل منهما الآخر.
• مساحته تساوي القاعدة في الارتفاع، ومحيطه ضعف مجموع ضلعين متجاورين.
• المستطيل والمعين والمربع حالات خاصة منه.

الخاتمة

تعرّفنا في هذا البحث على متوازي الأضلاع وخصائصه وشروطه وقوانين محيطه ومساحته، وحللنا أمثلة تطبيقية، وبيّنا أن المستطيل والمعين والمربع حالات خاصة منه. وهكذا نرى أن الرياضيات علم متصل بحياتنا، وأن إتقان أساسياتها يعين على النجاح في المراحل الدراسية اللاحقة وفي كثير من المهن.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلتين المتوسطة والثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتاب العناصر لإقليدس، في الهندسة المستوية.
• الموسوعة البريطانية، مادة: متوازي الأضلاع.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، متوازي الأضلاع