بحث عن الاتصال والنهايات

مقدمة البحث

الحمد لله الذي علّم بالقلم، علّم الإنسان ما لم يعلم، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الرياضيات لغة العلوم، ومن أجمل أبوابها حساب التفاضل والتكامل الذي يقوم على مفهومين أساسيين هما النهايات والاتصال. وفي هذا البحث نتعرف على هذين المفهومين وخصائصهما وطرق حسابهما مع أمثلة محلولة.

تعريف الموضوع

النهاية هي القيمة التي تقترب منها قيمة الدالة عندما يقترب المتغير من عدد معين، دون الحاجة إلى أن تساوي الدالة هذه القيمة عند ذلك العدد. فإذا اقتربت قيم الدالة f(x) من العدد L كلما اقتربت x من a من الجهتين، قلنا إن نهاية الدالة عند a هي L وكتبنا:

lim_x→a f(x) = L

أما الاتصال فيعني أن منحنى الدالة غير مقطوع عند نقطة ما، أي يمكن رسمه دون رفع القلم عن الورقة في تلك المنطقة.

أهمية الموضوع

تعد النهايات الأساس الذي بُني عليه مفهوم المشتقة والتكامل، وهما أداتان تستخدمان في الفيزياء والهندسة والاقتصاد لدراسة التغير والسرعة والمساحات. كما يفسر الاتصال كثيرًا من الظواهر التي تتغير تغيرًا مستمرًا كحركة الأجسام ودرجات الحرارة. ولذلك فإن فهم هذا الباب يمهد للتخصصات العلمية في الجامعة.

أهداف البحث

• فهم معنى النهاية وتقدير قيمتها من الجدول والمنحنى.
• حساب النهايات باستخدام خصائصها والتعويض والتحليل.
• التعرف على النهايات من جهة واحدة والنهايات عند المالانهاية.
• فهم مفهوم الاتصال وشروطه وأنواع عدم الاتصال.
• تطبيق ذلك على مسائل محلولة.

محاور البحث

أولًا: تقدير النهاية بالجدول

لتقدير نهاية الدالة f(x) = x + 2 عندما تقترب x من اثنين نكتب قيمًا قريبة من اثنين من الجهتين:

نلاحظ أن قيم الدالة تقترب من أربعة من الجهتين، فنهاية الدالة عند اثنين تساوي أربعة.

ثانيًا: خصائص النهايات

إذا كانت نهاية الدالة f عند a تساوي L ونهاية الدالة g عندها تساوي M وكان c ثابتًا، فإن:

• نهاية المجموع أو الفرق: L ± M.
• نهاية ثابت في دالة: cL.
• نهاية حاصل الضرب: L × M.
• نهاية خارج القسمة: L / M بشرط أن لا يساوي M صفرًا.
• نهاية القوة: Lⁿ.
• نهاية الدالة الثابتة هي الثابت نفسه، ونهاية x عند a هي a.

ثالثًا: إيجاد النهاية جبريًا

الطريقة الأولى: التعويض المباشر. إذا كانت الدالة كثيرة حدود أو دالة نسبية مقامها لا يساوي صفرًا عند العدد المعطى، فنعوض به مباشرة.

مثال: أوجد النهاية التالية:

lim_x→3 (2x² − 5x + 1)

الحل بالتعويض المباشر:

2(3)² − 5(3) + 1 = 18 − 15 + 1 = 4

الطريقة الثانية: التحليل والاختصار. إذا نتج عن التعويض الصيغة غير المعينة صفر على صفر، نحلل البسط والمقام ونختصر العامل المشترك.

مثال: أوجد النهاية التالية:

lim_x→2 (x² − 4) / (x − 2)

التعويض المباشر يعطي صفرًا على صفر، فنحلل البسط فرقًا بين مربعين:

(x − 2)(x + 2) / (x − 2) = x + 2

ثم نعوض فتكون النتيجة اثنين زائد اثنين أي أربعة.

الطريقة الثالثة: الضرب في المرافق وتستعمل عندما يكون في الدالة جذر تربيعي، فنضرب البسط والمقام في مرافق العبارة التي فيها الجذر لنتخلص من الصفر في المقام.

رابعًا: النهايات من جهة واحدة

قد تختلف قيمة الدالة عند الاقتراب من العدد من اليمين عن قيمتها عند الاقتراب من اليسار. فنرمز x→a⁺ للاقتراب من اليمين، وx→a⁻ للاقتراب من اليسار. وتكون النهاية موجودة عند a إذا وفقط إذا تساوت النهايتان من اليمين واليسار. مثال: الدالة التي قيمتها سالب واحد عندما تكون x أقل من صفر وموجب واحد عندما تكون أكبر من صفر، نهايتها من اليمين عند الصفر موجب واحد ومن اليسار سالب واحد، فلا توجد نهاية للدالة عند الصفر لاختلاف النهايتين.

خامسًا: النهايات عند المالانهاية

ندرس سلوك الدالة عندما تكبر x كبرًا لا حد له. فمثلًا قيمة الدالة النسبية التالية تقترب من الصفر كلما كبرت x:

lim_x→∞ 1 / x = 0

ولإيجاد نهاية دالة نسبية عند المالانهاية نقسم البسط والمقام على أعلى قوة للمتغير في المقام. مثال:

lim_x→∞ (3x + 1) / (x + 2)

نقسم كلا من البسط والمقام على x فيصير الكسر ثلاثة زائد واحد على x في البسط، وواحد زائد اثنين على x في المقام. وعند كبر x تؤول الحدود التي في مقامها x إلى الصفر، فتكون النهاية ثلاثة على واحد أي ثلاثة.

سادسًا: الاتصال

تكون الدالة f متصلة عند العدد a إذا تحققت الشروط الثلاثة التالية:

1. أن تكون الدالة معرفة عند العدد، أي أن قيمتها موجودة.
2. أن تكون لها نهاية عند هذا العدد.
3. أن تساوي النهاية قيمة الدالة عند العدد.

lim_x→a f(x) = f(a)

وإذا اختل شرط من هذه الشروط كانت الدالة غير متصلة عند ذلك العدد، ولعدم الاتصال أنواع:

وكثيرات الحدود متصلة عند كل الأعداد الحقيقية، والدوال النسبية متصلة عند كل الأعداد التي لا تجعل المقام صفرًا. وتفيد نظرية القيمة المتوسطة أن الدالة المتصلة على فترة مغلقة تأخذ كل قيمة بين قيمتيها عند طرفي الفترة، وبها يمكن إثبات وجود جذر للمعادلة في فترة معينة.

مثال: هل الدالة التالية متصلة عند العدد اثنين؟

f(x) = (x² − 4) / (x − 2)

الدالة غير معرفة عند اثنين لأن المقام يساوي صفرًا، فالشرط الأول غير متحقق، إذن هي غير متصلة عند هذا العدد، وعدم الاتصال قابل للإزالة لأن النهاية موجودة وتساوي أربعة كما رأينا سابقًا.

النتائج

• النهاية هي القيمة التي تقترب منها الدالة وليست بالضرورة قيمتها عند العدد.
• تحسب النهايات بالتعويض أو بالتحليل أو بالضرب في المرافق.
• تكون النهاية موجودة إذا تساوت النهايتان من اليمين واليسار.
• تتصل الدالة عند عدد إذا كانت معرفة ولها نهاية وتساوي النهاية قيمتها.

التوصيات

• الإكثار من حل التمارين على الصيغ غير المعينة وتنويع طرق الحل.
• استخدام برامج الرسم البياني لملاحظة سلوك الدوال عند الاقتراب من النقاط المهمة.
• الربط بين النهايات والاتصال وبين تطبيقاتها في الفيزياء.

الخاتمة

تناول هذا البحث مفهومي النهاية والاتصال، وخصائص النهايات وطرق إيجادها، والنهايات من جهة واحدة وعند المالانهاية، وشروط الاتصال وأنواع عدم الاتصال، مع أمثلة محلولة. ويتضح أن هذين المفهومين هما الأساس الذي يقوم عليه التفاضل والتكامل. نسأل الله أن ينفعنا بما علمنا.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• التفاضل والتكامل، تأليف جيمس ستيوارت.
• Calculus، تأليف Howard Anton.

كلمات دليلية