مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الهندسة من أقدم فروع الرياضيات، وقد اهتم بها علماء المسلمين اهتمامًا كبيرًا، وأفادوا منها في العمارة والزخرفة وتقسيم الأراضي. ومن الأشكال الهندسية التي نراها حولنا في كل مكان المعين والمربع، وهما من أنواع الأشكال الرباعية. وفي هذا البحث نتعرف على تعريفهما وخصائصهما وقوانينهما وأمثلة محلولة عليهما.

تعريف الموضوع

الشكل الرباعي هو مضلع له أربعة أضلاع وأربع زوايا ومجموع زواياه الداخلية ثلاثمئة وستون درجة. ومن أنواع الأشكال الرباعية متوازي الأضلاع الذي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان ومتساويان.

  • المعين: متوازي أضلاع جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول.
  • المربع: متوازي أضلاع جميع أضلاعه متساوية وجميع زواياه قائمة؛ فهو معين زواياه قوائم، وهو كذلك مستطيل أضلاعه متساوية.

أهمية الموضوع

تظهر أهمية المعين والمربع في حياتنا اليومية، فالمربع نجده في البلاط والنوافذ والأوراق ولوحات الشطرنج، والمعين نجده في الزخارف الإسلامية وفي شكل الطائرة الورقية وفي بعض الأسوار وشبابيك الحماية. ومعرفة خصائصهما تساعد الطالب على حل مسائل الهندسة وحساب المساحات والمحيطات، وعلى إثبات تطابق الأشكال وتصنيفها.

أهداف البحث

  • التعرف على تعريف المعين والمربع.
  • معرفة خصائص أضلاعهما وزواياهما وأقطارهما.
  • استخدام قوانين المحيط والمساحة في حل المسائل.
  • توضيح العلاقة بين المعين والمربع والمستطيل.
  • ربط الأشكال بالتطبيقات الحياتية.

محاور البحث

أولًا: خصائص المعين

  • جميع أضلاعه الأربعة متساوية.
  • كل ضلعين متقابلين متوازيان.
  • كل زاويتين متقابلتين متساويتان، وكل زاويتين متجاورتين مجموعهما مئة وثمانون درجة.
  • قطراه متعامدان، ينصف كل منهما الآخر.
  • كل قطر ينصف زاويتي الرأسين اللذين يصل بينهما.
  • قطراه ليسا متساويين في الطول عمومًا.
  • له محورا تماثل هما قطراه.

والقطران يقسمان المعين إلى أربعة مثلثات قائمة الزاوية متطابقة، وهذه الحقيقة تساعد في حساب طول الضلع إذا علمنا طولي القطرين.

ثانيًا: خصائص المربع

  • جميع أضلاعه الأربعة متساوية وكل ضلعين متقابلين متوازيان.
  • جميع زواياه الأربع قوائم، أي كل زاوية تساوي تسعين درجة.
  • قطراه متساويان في الطول ومتعامدان وينصف كل منهما الآخر.
  • كل قطر ينصف زاويتين من زواياه، فتكون الزاوية بين القطر والضلع خمسًا وأربعين درجة.
  • له أربعة محاور تماثل: قطراه، والمستقيمان المارّان بمنتصفي كل ضلعين متقابلين.

ثالثًا: القوانين

الشكلالمحيطالمساحةطول القطر
المعين (طول الضلع a والقطران d1 و d2)P = 4aA = ½ × d1 × d2يُحسب من خصائص المثلثات القائمة
المربع (طول الضلع a)P = 4aA = a2d = a√2

وللمعين قانون آخر للمساحة هو حاصل ضرب طول الضلع في الارتفاع المتعامد عليه:

A = a × h

وسبب قانون مساحة المعين بدلالة القطرين أن القطرين يقسمانه إلى أربعة مثلثات قائمة، مساحة كل منها نصف حاصل ضرب نصفي القطرين، فيصبح المجموع نصف حاصل ضرب القطرين. أما طول قطر المربع فنحصل عليه من نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الذي ضلعاه ضلعا المربع:

d2 = a2 + a2 = 2a2

d = a√2

رابعًا: العلاقة بين الأشكال الرباعية

  • كل مربع هو معين، لأن أضلاعه متساوية وكل ضلعين متقابلين متوازيان.
  • كل مربع هو مستطيل، لأن زواياه كلها قوائم.
  • ليس كل معين مربعًا، فالمعين يصبح مربعًا إذا كانت إحدى زواياه قائمة، أو إذا تساوى قطراه.
  • كل معين هو متوازي أضلاع، لكن العكس غير صحيح.

خامسًا: أمثلة محلولة

المثال الأول: معين طولا قطريه اثنا عشر سنتيمترًا وستة عشر سنتيمترًا. أوجد مساحته وطول ضلعه ومحيطه.

الحل: المساحة تساوي نصف حاصل ضرب القطرين:

A = ½ × 12 × 16 = 96 cm2

ولإيجاد طول الضلع نأخذ المثلث القائم الذي ضلعاه نصفا القطرين، وهما ستة وثمانية سنتيمترات:

a2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

إذن طول الضلع عشرة سنتيمترات، ويكون المحيط أربعين سنتيمترًا لأنه أربعة أمثال طول الضلع.

المثال الثاني: مربع طول ضلعه سبعة سنتيمترات. أوجد محيطه ومساحته وطول قطره.

P = 4 × 7 = 28 cm

A = 72 = 49 cm2

d = 7√2 cm

وبذلك يكون طول القطر تقريبًا تسعة سنتيمترات وتسعة أعشار السنتيمتر.

المثال الثالث: مربع طول قطره عشرة سنتيمترات. أوجد مساحته.

الحل: من قانون القطر:

10 = a√2

a2 = 100 ÷ 2 = 50

ومساحة المربع تساوي مربع طول الضلع، إذن المساحة خمسون سنتيمترًا مربعًا. وهناك طريقة أخرى: مساحة المربع تساوي نصف مربع طول قطره.

المثال الرابع: في معين إحدى زواياه ستون درجة، أوجد باقي زواياه.

الحل: الزاوية المقابلة لها تساويها أيضًا، أي ستين درجة. أما كل من الزاويتين الأخريين فمجموعها مع الزاوية المجاورة مئة وثمانون درجة، فتكون كل منهما مئة وعشرين درجة. والتحقق: مجموع الزوايا الأربع ستون زائد ستين زائد مئة وعشرين زائد مئة وعشرين، وهو ثلاثمئة وستون درجة.

سادسًا: تطبيقات حياتية

  • رصف الأرضيات بالبلاط المربع أو المعيّن.
  • تصميم الزخارف الهندسية في العمارة الإسلامية.
  • تصميم الطائرات الورقية وبعض الشعارات والرايات.
  • حساب مساحة الأراضي المربعة وكمية السياج اللازمة لإحاطتها.
  • صناعة رافعات الأثقال الميكانيكية التي تستفيد من شكل المعين المتغير.

النتائج

  • المعين متوازي أضلاع أضلاعه متساوية، وقطراه متعامدان ومنصّفان لزواياه.
  • المربع معين زواياه قوائم وقطراه متساويان.
  • مساحة المعين نصف حاصل ضرب قطريه، ومساحة المربع مربع طول ضلعه.
  • كل مربع معين ومستطيل، وليس كل معين مربعًا.

التوصيات

  • رسم الأشكال بالمسطرة والفرجار والمنقلة لتثبيت الخصائص.
  • التدرب على إثبات الخصائص بالتطابق ونظرية فيثاغورس.
  • ربط الدروس الهندسية بتطبيقات عملية في المنزل والمدرسة.

الخاتمة

تعرفنا في هذا البحث على المعين والمربع، وعلى خصائصهما وقوانين محيطهما ومساحتهما، وحللنا أمثلة تطبيقية عليهما، وبيّنا العلاقة بينهما وبين غيرهما من الأشكال الرباعية. ونسأل الله أن ينفع بهذا العلم وأن يجعلنا من الذين يتأملون في إتقان خلقه.

المراجع

  • كتب الرياضيات المقررة في المرحلتين المتوسطة والثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
  • كتاب «الأصول» في الهندسة لإقليدس.
  • كتب الهندسة المستوية الجامعية.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، المعين والمربع