بحث عن نظرية الباقي والعوامل

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الجبر من أهم فروع الرياضيات، وفيه يتعامل الطالب مع العبارات الجبرية وكثيرات الحدود ويتعلم تحليلها وحل معادلاتها. ومن أجمل أدوات هذا الباب نظريتا الباقي والعوامل، فهما تختصران على الطالب جهدًا كبيرًا في القسمة الطويلة، وتسهّلان تحليل كثيرات الحدود من الدرجات العليا. وفي هذا البحث نتناول النظريتين بالشرح والبرهان والأمثلة المحلولة.

تعريف الموضوع

كثيرة الحدود عبارة جبرية مكوّنة من حدود، كل حد منها عدد مضروب في قوة صحيحة غير سالبة للمتغير، مثل:

P(x) = x³ − 4x² + x + 6

ودرجة كثيرة الحدود هي أعلى أس للمتغير فيها. وإذا قسمنا كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى من درجة أقل حصلنا على خارج قسمة وباقٍ، ويتحقق دائمًا ما يلي:

P(x) = D(x) · Q(x) + R(x)

حيث P(x) هو المقسوم، وD(x) المقسوم عليه، وQ(x) خارج القسمة، وR(x) الباقي، ودرجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.

أهمية الموضوع

تفيد النظريتان في إيجاد باقي القسمة دون إجراء القسمة، وفي معرفة هل مقدار معين عامل لكثيرة الحدود أم لا، وفي تحليل كثيرات الحدود وإيجاد أصفارها. وتُستعمل في حل المعادلات من الدرجة الثالثة وما فوقها، وفي رسم المنحنيات ودراسة الدوال في المراحل الدراسية اللاحقة، ولذلك فإن إتقانها أساس لما يليها من موضوعات.

أهداف البحث

• ذكر نص نظرية الباقي وبرهانها.
• ذكر نص نظرية العوامل وعلاقتها بنظرية الباقي.
• تطبيق النظريتين في أمثلة محلولة بالتفصيل.
• استخدامهما في تحليل كثيرات الحدود وإيجاد الجذور.
• التنبيه إلى الأخطاء الشائعة وكيفية تجنبها.

محاور البحث

أولًا: نظرية الباقي

نصها: إذا قُسمت كثيرة الحدود P(x) على المقدار (x − a) فإن الباقي يساوي قيمة الكثيرة عند x = a، أي:

R = P(a)

البرهان: بحسب خوارزمية القسمة، إذا كان المقسوم عليه من الدرجة الأولى فإن الباقي عدد ثابت، نسميه R، فيكون:

P(x) = (x − a) · Q(x) + R

وبالتعويض عن x بالقيمة a يصبح الحد الأول صفرًا لأن (a − a) يساوي صفرًا، فنحصل على:

P(a) = R

وهو المطلوب إثباته.

ثانيًا: نظرية العوامل

نصها: يكون المقدار (x − a) عاملًا من عوامل كثيرة الحدود P(x) إذا وفقط إذا كان:

P(a) = 0

وهي حالة خاصة من نظرية الباقي؛ فإذا كان الباقي صفرًا فهذا يعني أن القسمة تامة، أي أن المقسوم عليه عامل في المقسوم. ويقال حينئذ إن العدد a صفر (جذر) لكثيرة الحدود.

ثالثًا: أمثلة محلولة على نظرية الباقي

المثال الأول: أوجد باقي قسمة الكثيرة التالية على (x − 1):

P(x) = 2x³ + 3x² − 5x + 4

الحل: نعوّض عن x بالقيمة واحد لأن المقسوم عليه (x − 1):

P(1) = 2(1) + 3(1) − 5(1) + 4 = 2 + 3 − 5 + 4 = 4

إذن الباقي يساوي أربعة.

المثال الثاني: أوجد باقي قسمة الكثيرة نفسها على (x + 2).

الحل: نكتب المقسوم عليه على الصورة x − (−2) فيكون a = −2:

P(−2) = 2(−8) + 3(4) − 5(−2) + 4 = −16 + 12 + 10 + 4 = 10

إذن الباقي يساوي عشرة.

المثال الثالث: إذا كان باقي قسمة x³ + kx + 2 على (x − 2) يساوي ثمانية عشر، فأوجد قيمة k.

الحل: بحسب نظرية الباقي:

P(2) = 8 + 2k + 2 = 18

2k = 8

ومنه تكون قيمة k تساوي أربعة.

رابعًا: أمثلة محلولة على نظرية العوامل

المثال الرابع: بيّن أن (x − 2) عامل من عوامل الكثيرة التالية ثم حلّلها تحليلًا كاملًا:

P(x) = x³ − 4x² + x + 6

الحل: نحسب قيمة الكثيرة عند اثنين:

P(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0

وبما أن الناتج صفر فإن (x − 2) عامل. نقسم الكثيرة على هذا العامل فنحصل على خارج القسمة:

x² − 2x − 3

وهذا المقدار نحلله إلى عاملين، فيكون التحليل الكامل:

P(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1)

وتكون أصفار الكثيرة هي اثنان وثلاثة وسالب واحد.

المثال الخامس: أوجد قيمة k التي تجعل (x − 3) عاملًا في الكثيرة:

P(x) = x³ − 2x² + kx − 6

الحل: يجب أن يكون P(3) = 0:

27 − 18 + 3k − 6 = 0

3 + 3k = 0

ومنه تكون قيمة k تساوي سالب واحد.

خامسًا: إيجاد الجذور النسبية

لإيجاد أصفار كثيرة حدود معاملاتها أعداد صحيحة نستعين بالقاعدة التالية: إذا كان لكثيرة الحدود جذر نسبي على صورة p/q مبسّط، فإن p قاسم للحد الثابت، وq قاسم لمعامل الحد الأول. فمثلًا في الكثيرة:

P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6

الحد الثابت هو سالب ستة وقواسمه هي الأعداد واحد واثنان وثلاثة وستة بإشارتيها الموجبة والسالبة، ومعامل الحد الأول واحد، فنجرّب هذه القيم. نجد أن P(1) = 0 وP(2) = 0 وP(3) = 0، فتكون عوامل الكثيرة:

P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

سادسًا: الفرق بين الباقي والعوامل

سابعًا: الأخطاء الشائعة

• نسيان تغيير الإشارة، فالمقسوم عليه (x + 3) يعني التعويض بسالب ثلاثة لا ثلاثة.
• إجراء القسمة الطويلة في كل مرة مع إمكان الاكتفاء بالتعويض.
• الاعتقاد بأن الباقي صفر يعني أن الكثيرة مساوية للصفر، والصحيح أنه يدل على قابلية القسمة التامة.
• عدم ترتيب الحدود تنازليًا قبل القسمة وإهمال الحدود المعدومة.

النتائج

• باقي قسمة P(x) على (x − a) يساوي P(a).
• المقدار (x − a) عامل إذا وفقط إذا كان P(a) يساوي صفرًا.
• تسهّل النظريتان تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة فما فوق.
• قاعدة الجذور النسبية تحدد القيم التي يجب تجربتها.

التوصيات

• التدرب على الأمثلة المتنوعة حتى تصبح العمليات الحسابية سريعة ودقيقة.
• مراجعة النتيجة بالتعويض أو بضرب العوامل للتأكد من صحة التحليل.
• الاستفادة من الحاسبة البيانية أو البرامج الرياضية للتحقق من الجذور.

الخاتمة

تعرّفنا في هذا البحث على نظريتي الباقي والعوامل، وبرهنّا الأولى وبيّنا أن الثانية حالة خاصة منها، وحللنا أمثلة متنوعة على إيجاد الباقي والتحليل وإيجاد القيم المجهولة. وبهذا يتضح أن الرياضيات علم منظم تقوم نتائجه على براهين متسلسلة، وأن إتقان الأساسيات يمهّد للتفوق في الموضوعات المتقدمة.

المراجع

• كتب الرياضيات المقررة في المرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتب الجبر الجامعية في موضوع كثيرات الحدود.
• الموسوعات والمراجع العلمية في الجبر والتحليل الأولي.

كلمات دليلية