بحث عن الاحتمال المشروط

مقدمة البحث

الحمد لله الذي وهب الإنسان العقل والعلم، والصلاة والسلام على نبينا محمد وعلى آله وصحبه. أما بعد، فإن الحياة مليئة بالأحداث التي نتوقع حدوثها بدرجات متفاوتة، فنقول إن المطر محتمل غدًا، وإن احتمال نجاح الطالب المجتهد كبير. وعلم الاحتمالات هو الذي يحوّل هذه التوقعات من كلام عام إلى أعداد دقيقة تقيس فرصة حدوث الحدث. وكثيرًا ما تتغير هذه الفرصة إذا عرفنا معلومة جديدة، وهنا يظهر مفهوم الاحتمال المشروط الذي نتناوله في هذا البحث.

تعريف الموضوع

الاحتمال المشروط هو احتمال وقوع حدث ما بشرط أن يكون حدث آخر قد وقع فعلًا. فإذا رمزنا للحدثين بالرمزين A وB فإن احتمال وقوع A علمًا بأن B قد وقع يُكتب P(A|B) ويُقرأ «احتمال A بشرط B». وهو يعني أننا حصرنا اهتمامنا في النتائج التي تحقق الحدث B فقط، ثم نبحث عن نسبة النتائج التي يقع فيها A أيضًا من بين تلك النتائج.

P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) ، حيث P(B) > 0

والرمز ∩ يعني «تقاطع الحدثين»، أي وقوعهما معًا. ويشترط في القانون أن يكون احتمال الحدث المشروط به أكبر من الصفر، لأن القسمة على الصفر غير ممكنة.

أهمية الموضوع

تكمن أهمية الاحتمال المشروط في أنه يصف كيف تغيّر المعلومات الجديدة توقعاتنا. فالطبيب الذي يعرف نتيجة فحص يعدّل تقديره لاحتمال المرض، ومؤسسة التأمين تحسب الخطر بحسب عمر العميل وظروفه، ومهندس الجودة يقدّر احتمال أن تكون القطعة معيبة إذا جاءت من خط إنتاج معين. كما أنه أساس لكثير من فروع الإحصاء وعلوم الحاسب والذكاء الاصطناعي.

أهداف البحث

• التعرف على مفهوم الاحتمال المشروط وقانونه.
• حل مسائل متنوعة بالنرد والبطاقات والكرات باستعمال القانون.
• التمييز بين الأحداث المستقلة والأحداث غير المستقلة.
• استنتاج قاعدة الضرب وقاعدة الاحتمال الكلي.
• التعرف على تطبيقات الاحتمال المشروط في الحياة.

محاور البحث

أولًا: تمهيد، فضاء العينة يتقلص

لنفترض أننا نرمي حجر نرد منتظم له ستة أوجه. فضاء العينة هو الأعداد من واحد إلى ستة، واحتمال ظهور العدد أربعة يساوي واحدًا من ستة. فإذا أخبرنا شخص أن العدد الظاهر زوجي، فإن الإمكانات تتقلص إلى ثلاثة فقط هي اثنان وأربعة وستة، فيصبح احتمال ظهور أربعة واحدًا من ثلاثة. لقد تغير الاحتمال لأننا عرفنا معلومة جديدة، وهذه هي فكرة الاحتمال المشروط.

ثانيًا: القانون وطريقة استعماله

نطبق القانون في المثال السابق. ليكن A هو «ظهور العدد أربعة» وB هو «ظهور عدد زوجي».

• احتمال B يساوي ثلاثة أسداس، أي نصفًا.
• تقاطع A وB هو ظهور أربعة فقط، واحتماله سدس.

P(A | B) = (1/6) ÷ (3/6) = 1/3

وهي النتيجة نفسها التي وصلنا إليها بالعد المباشر. ويمكن استعمال العد المباشر دائمًا عندما تكون النتائج متساوية الإمكان: نعدّ النتائج التي تحقق B، ثم نعدّ منها ما يحقق A أيضًا، ونقسم الثاني على الأول.

ثالثًا: أمثلة محلولة

المثال الأول: رُمي حجرا نرد منتظمان، فما احتمال أن يكون مجموعهما ثمانية علمًا بأن العددين الظاهرين متساويان؟

النتائج التي يتساوى فيها العددان ست نتائج هي (1،1) و(2،2) وحتى (6،6). ومن بينها نتيجة واحدة فقط مجموعها ثمانية هي (4،4). إذن الاحتمال يساوي واحدًا من ستة.

المثال الثاني: في صف عدد طلابه ثلاثون طالبًا، منهم ثمانية عشر يحبون كرة القدم، وعشرة يحبون السباحة، وخمسة يحبون الاثنتين معًا. اختير طالب عشوائيًا فتبين أنه يحب كرة القدم، فما احتمال أن يحب السباحة أيضًا؟

P(سباحة | كرة قدم) = 5 ÷ 18 ≈ 0.28

لاحظ أننا قسمنا عدد من يحبون الاثنتين معًا على عدد من يحبون كرة القدم، لا على عدد طلاب الصف كله.

المثال الثالث: صندوق فيه خمس كرات حمراء وثلاث كرات زرقاء. سُحبت كرتان على التوالي دون إرجاع، فما احتمال أن تكون الثانية حمراء علمًا بأن الأولى كانت حمراء؟

بعد سحب كرة حمراء يبقى في الصندوق سبع كرات منها أربع حمراء، فيكون الاحتمال أربعة أسباع. وهذا مثال واضح على أن السحب دون إرجاع يغيّر تركيب الصندوق ومن ثم يغيّر الاحتمال.

المثال الرابع: في مجموعة بطاقات مرقمة من واحد إلى عشرين، سُحبت بطاقة. ما احتمال أن يكون الرقم أكبر من خمسة عشر علمًا بأنه زوجي؟

الأعداد الزوجية عشرة، والأعداد الزوجية الأكبر من خمسة عشر هي ستة عشر وثمانية عشر وعشرون، أي ثلاثة. فالاحتمال ثلاثة أعشار.

رابعًا: قاعدة الضرب

بإعادة ترتيب القانون نحصل على قاعدة تفيدنا في حساب احتمال وقوع حدثين معًا:

P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B)

ففي المثال الثالث، احتمال أن تكون الكرتان المسحوبتان حمراوين يساوي احتمال أن تكون الأولى حمراء، وهو خمسة أثمان، مضروبًا في احتمال أن تكون الثانية حمراء بعد ذلك، وهو أربعة أسباع. والناتج عشرون من ستة وخمسين، أي خمسة أجزاء من أربعة عشر. وتُستعمل هذه القاعدة مع المخطط الشجري الذي نكتب على كل فرع منه احتمالًا مشروطًا، ثم نضرب الاحتمالات على طول المسار.

خامسًا: الأحداث المستقلة

يكون الحدثان A وB مستقلين إذا لم يؤثر وقوع أحدهما في احتمال وقوع الآخر، أي إذا تحقق:

P(A | B) = P(A)

وعندئذ تصبح قاعدة الضرب P(A ∩ B) = P(A) × P(B). ومن الأمثلة رمي قطعة نقد مرتين، فنتيجة الرمية الثانية لا تتأثر بالأولى. أما سحب كرتين دون إرجاع فهو من الأحداث غير المستقلة كما رأينا. ومن الأخطاء الشائعة الظن بأن الأحداث المتنافية، أي التي لا تقع معًا، مستقلة، والصواب أنها شديدة الارتباط، فإذا وقع أحدها فاحتمال وقوع الآخر صفر.

سادسًا: قانون الاحتمال الكلي

إذا قسّمنا فضاء العينة إلى أجزاء منفصلة B₁ وB₂ وB₃ تغطيه كله، فإن احتمال أي حدث A يساوي مجموع احتمالاته في كل جزء:

P(A) = P(B₁)·P(A | B₁) + P(B₂)·P(A | B₂) + P(B₃)·P(A | B₃)

مثال: مصنع فيه آلتان، الأولى تنتج ستين في المئة من القطع والثانية أربعين في المئة. نسبة المعيب في إنتاج الأولى اثنان في المئة وفي إنتاج الثانية خمسة في المئة. فما احتمال أن تكون قطعة مختارة عشوائيًا معيبة؟

P(معيب) = 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032

أي اثنان وثلاثون جزءًا من ألف، وهو ما يعادل ثلاثة في المئة وخمسًا تقريبًا.

سابعًا: قاعدة بايز

وإذا سألنا السؤال المعاكس: القطعة معيبة، فما احتمال أنها من الآلة الأولى؟ فإننا نستعمل قاعدة بايز التي تقلب الشرط:

P(B₁ | A) = P(B₁)·P(A | B₁) ÷ P(A)

= 0.012 ÷ 0.032 = 0.375

فاحتمال أن تكون القطعة المعيبة من الآلة الأولى سبعة وثلاثون ونصف في المئة، رغم أن الأولى تنتج أكثر القطع، لأن نسبة العيب فيها أقل. وهذا يبين أن P(A|B) تختلف عن P(B|A) وأن الخلط بينهما خطأ شائع جدًا.

ثامنًا: تطبيقات حياتية

• الطب: تقدير احتمال الإصابة بمرض بعد ظهور نتيجة فحص إيجابية، مع الأخذ في الحسبان دقة الفحص ونسبة انتشار المرض.
• التأمين: حساب خطر الحوادث بحسب عمر السائق ونوع المركبة.
• الأرصاد الجوية: تقدير احتمال المطر غدًا علمًا بحالة الجو اليوم.
• الحاسب: تصنيف رسائل البريد المزعج بناء على الكلمات التي تظهر فيها.
• الألعاب والقرارات: تعديل التوقعات كلما ظهرت معلومات جديدة.

النتائج

• الاحتمال المشروط يقيس فرصة وقوع حدث بعد معرفة وقوع حدث آخر.
• فضاء العينة يتقلص إلى الحدث المشروط به، وهذا ما يفسر القسمة على احتماله.
• قاعدة الضرب تُشتق مباشرة من قانون الاحتمال المشروط.
• يكون الحدثان مستقلين إذا كان P(A|B) مساويًا P(A).
• قانون الاحتمال الكلي وقاعدة بايز تمكّنان من حل مسائل متعددة المراحل.

التوصيات

• رسم المخطط الشجري عند حل المسائل ذات المراحل المتعددة.
• تحديد الحدث المشروط به أولًا، ثم حصر فضاء العينة فيه.
• التفريق بين السحب مع الإرجاع والسحب دون إرجاع.
• التحقق من منطقية الناتج، فالاحتمال عدد بين الصفر والواحد دائمًا.

الخاتمة

عرفنا في هذا البحث أن الاحتمال المشروط أداة تجعلنا نحدّث توقعاتنا كلما عرفنا معلومة جديدة، وتعلمنا قانونه وقاعدة الضرب والاحتمال الكلي وقاعدة بايز، وحللنا أمثلة متنوعة. وإن إتقان هذا الموضوع يفتح الباب لفهم الإحصاء والتحليل العلمي واتخاذ القرارات على أساس سليم لا على أساس الظن والتخمين. والحمد لله رب العالمين.

المراجع

• كتب الرياضيات والإحصاء والاحتمالات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتب الاحتمالات والإحصاء الجامعية المنهجية العامة.
• Sheldon Ross, A First Course in Probability.‎

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، الاحتمال المشروط