بحث عن الجذور والأصفار

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الرياضيات لغة الكون، وبها نقدّر المسافات ونحسب الأزمنة ونفهم حركة الأجرام. وقد أشار القرآن الكريم إلى الانتظام الدقيق في الخلق وحسابه، فقال الله تعالى:

﴿الشَّمْسُ وَالْقَمَرُ بِحُسْبَانٍ﴾ [الرحمن: 5]

ومن أهم مسائل الجبر في المرحلة الثانوية مسألة الجذور والأصفار: كيف نجد القيم التي تحقق معادلة معينة أو تجعل دالة تساوي صفرًا؟ وفي هذا البحث نعرض هذه المفاهيم وطرق إيجادها مع أمثلة محلولة.

تعريف الموضوع

صفر الدالة هو كل قيمة للمتغير x تجعل قيمة الدالة تساوي صفرًا، أي أن f(x) = 0 عند هذه القيمة. أما جذر المعادلة فهو كل قيمة تحقق المعادلة حين نعوضها فيها. والمفهومان متطابقان في الحقيقة: فجذور المعادلة f(x) = 0 هي نفسها أصفار الدالة f. ومن الناحية البيانية، فإن الأصفار الحقيقية للدالة هي الإحداثيات السينية لنقاط تقاطع منحنى الدالة مع محور السينات.

ويستعمل لفظ «الجذر» أيضًا في معنى آخر هو الجذر النوني للعدد، وهو العدد الذي إذا رُفع للقوة n أعطى العدد المعطى، كالجذر التربيعي والجذر التكعيبي.

أهمية الموضوع

تدخل الأصفار والجذور في مسائل كثيرة في الفيزياء والهندسة والاقتصاد، فعندما نريد معرفة متى تصل قذيفة إلى الأرض، أو متى تتعادل الإيرادات والتكاليف، أو أين يقطع طريق خطًا آخر، فإننا نحل معادلة نبحث فيها عن جذورها. كما أن فهمها أساس لدراسة الدوال ورسمها وتحليل سلوكها، وهي ضرورية للطلاب في الرياضيات الجامعية والعلوم والهندسة.

أهداف البحث

• التمييز بين صفر الدالة وجذر المعادلة وبين الجذر النوني للعدد.
• إيجاد أصفار الدوال الخطية والتربيعية بالتحليل والقانون العام.
• استعمال المميز لمعرفة نوع الجذور وعددها.
• التعرف على نظريتي الباقي والعامل وإيجاد جذور كثيرات الحدود.
• تفسير الأصفار على التمثيل البياني للدالة.

عناصر البحث

أولًا: لمحة تاريخية

كان لعلماء المسلمين فضل كبير في تأسيس علم الجبر، وأشهرهم محمد بن موسى الخوارزمي الذي ألّف كتابه «الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة» وشرح فيه طرق حل المعادلات من الدرجة الأولى والثانية، ومن كلمة «الجبر» في عنوان كتابه أخذت الكلمة الأجنبية Algebra. وتطورت بعده طرق حل المعادلات على أيدي علماء كثيرين.

ثانيًا: أصفار الدالة الخطية

الدالة الخطية صورتها العامة:

f(x) = ax + b (a ≠ 0)

وصفرها يوجد بحل المعادلة ax + b = 0 فنجد:

x = −b / a

مثال: أوجد صفر الدالة الآتية f(x) = 2x − 6

2x − 6 = 0 ⟹ 2x = 6 ⟹ x = 3

فللدالة الخطية صفر واحد، وهو نقطة تقاطع المستقيم مع محور السينات عند (3 , 0).

ثالثًا: جذور المعادلة التربيعية

المعادلة التربيعية صورتها العامة:

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

ولها ثلاث طرق شائعة للحل:

١- التحليل إلى عوامل

مثال: حل المعادلة x² − 5x + 6 = 0

(x − 2)(x − 3) = 0 ⟹ x = 2 or x = 3

فللمعادلة جذران: الأول ٢ والثاني ٣

٢- إكمال المربع

نحول المعادلة إلى الصيغة (x + h)² = k ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين. فمثلًا في المعادلة x² = 7 يكون الحل:

x = ± √7

٣- القانون العام

x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) / 2a

مثال: حل المعادلة 2x² + 3x − 5 = 0

b² − 4ac = 9 + 40 = 49

x = ( −3 ± 7 ) / 4 ⟹ x = 1 or x = −2.5

رابعًا: المميز ونوع الجذور

يسمى المقدار b² − 4ac المميز ويرمز له بالحرف Δ، وهو يحدد عدد الجذور ونوعها:

مثال: المعادلة x² + 2x + 5 = 0 مميزها يساوي 4 − 20 = −16 وهو سالب فجذراها مركبان:

x = ( −2 ± √(−16) ) / 2 = −1 ± 2i

حيث i الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي سالب واحد.

خامسًا: العلاقة بين الجذور والمعاملات

إذا كان للمعادلة التربيعية الجذران r₁ وr₂ فإن:

r₁ + r₂ = −b / a , r₁ × r₂ = c / a

وتفيد هذه العلاقة في التحقق من صحة الحل أو في تكوين معادلة إذا عُلم جذراها. ففي المعادلة x² − 5x + 6 = 0 مجموع الجذرين ٥ وحاصل ضربهما ٦ وهذا ينطبق على الجذر الأول ٢ والجذر الثاني ٣

سادسًا: كثيرات الحدود ونظريتا الباقي والعامل

نظرية الباقي: إذا قُسمت كثيرة الحدود f(x) على (x − a) فإن الباقي يساوي f(a).

مثال: باقي قسمة f(x) = x³ − 2x + 5 على (x − 2) يساوي:

f(2) = 8 − 4 + 5 = 9

نظرية العامل: يكون (x − a) عاملًا من عوامل f(x) إذا وفقط إذا كان f(a) = 0 أي إذا كان a صفرًا للدالة.

مثال: أوجد أصفار f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6

f(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0

إذن (x − 1) أحد العوامل، وبالقسمة نحصل على:

f(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

فالأصفار هي: الأول ١ والثاني ٢ والثالث ٣

سابعًا: نظرية الجذور النسبية

إذا كانت معاملات كثيرة الحدود أعدادًا صحيحة، فإن أي جذر نسبي لها بالصورة p / q يكون p قاسمًا للحد الثابت، وq قاسمًا للمعامل الرئيس. وهذه النظرية تحصر الاحتمالات وتسهل البحث عن الجذور.

مثال: أوجد جذور 2x³ − 3x² − 8x + 12 = 0

نكتب قواسم الحد الثابت في البسط وقواسم المعامل الرئيس في المقام:

p ∈ { ±1 ±2 ±3 ±4 ±6 ±12 } q ∈ { 1 2 }

ثم نجرب القيم الممكنة، وعند x = 2 نجد:

2(8) − 3(4) − 16 + 12 = 0

إذن (x − 2) عامل، وبالقسمة:

2x³ − 3x² − 8x + 12 = (x − 2)(2x² + x − 6) = (x − 2)(2x − 3)(x + 2)

فالجذور هي: ٢ ثم ١٫٥ ثم −٢

ثامنًا: تكرار الجذر

قد يتكرر العامل نفسه، فيسمى عدد تكراره تضاعف الجذر. ففي الدالة f(x) = (x − 2)²(x + 1) يكون الصفر ٢ مضاعفًا مرتين، والصفر −١ مضاعفًا مرة واحدة. وعندما يكون التضاعف زوجيًا يمس المنحنى محور السينات ولا يعبره، وعندما يكون فرديًا يعبر المنحنى المحور.

تاسعًا: النظرية الأساسية في الجبر

تنص النظرية الأساسية في الجبر على أن كل كثيرة حدود درجتها n (حيث n أكبر من صفر) لها n من الجذور في مجموعة الأعداد المركبة، إذا حسبنا الجذور المتكررة بعدد مرات تكرارها. فالمعادلة التكعيبية لها ثلاثة جذور، وقد يكون منها جذر حقيقي واحد وجذران مركبان.

عاشرًا: الجذور النونية

• الجذر التربيعي للعدد ٩ هو ٣ لأن ٣ × ٣ = ٩ ويرمز له بالرمز √9
• الجذر التكعيبي للعدد ٢٧ هو ٣ لأن ٣ × ٣ × ٣ = ٢٧ ويرمز له بالرمز ∛27
• لا يوجد جذر تربيعي حقيقي لعدد سالب، لأن مربع أي عدد حقيقي غير سالب.
• من خواص الجذور: √(a × b) = √a × √b للأعداد غير السالبة.

النتائج

• أصفار الدالة هي جذور المعادلة f(x) = 0 وهي نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات.
• للدالة الخطية صفر واحد وللتربيعية صفران على الأكثر في الأعداد الحقيقية.
• يحدد المميز نوع جذور المعادلة التربيعية.
• تساعد نظريتا الباقي والعامل ونظرية الجذور النسبية على تحليل كثيرات الحدود.
• لكل كثيرة حدود من الدرجة n عدد n من الجذور المركبة بحساب التكرار.

التوصيات

• التحقق من صحة الجذور بالتعويض في المعادلة الأصلية.
• الاستعانة بالرسم البياني لتقدير الجذور ثم حسابها بدقة.
• التدرب على تحليل العوامل لأنه أسرع الطرق عند إمكانه.

الخاتمة

عرضنا في هذا البحث مفهوم الجذور والأصفار وطرق إيجادها، من الدوال الخطية إلى التربيعية ثم كثيرات الحدود، وبينا العلاقة بين الحل الجبري والتمثيل البياني. وتبقى هذه المفاهيم أساسًا لمواصلة دراسة الرياضيات وتطبيقاتها في العلوم، ونسأل الله أن ينفعنا بما علمنا.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلة الثانوية (الجبر وحساب المثلثات)، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتاب «الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة» لمحمد بن موسى الخوارزمي.
• كتب «الجبر» و«ما قبل التفاضل والتكامل» الجامعية.

كلمات دليلية

بحث، بحث عن، بحث علمي، بحوث، الجذور والأصفار