بحث عن المشتقات في الرياضيات

مقدمة البحث

الحمد لله الذي علّم الإنسان ما لم يعلم، والصلاة والسلام على نبينا محمد وعلى آله وصحبه. أما بعد، فإن الرياضيات لغة الكون التي نصف بها الحركة والتغيّر، ولا يكاد يخلو علم من العلوم الطبيعية والهندسية من حاجة إليها. وقد قال الله تعالى:

﴿وَالسَّمَاءَ رَفَعَهَا وَوَضَعَ الْمِيزَانَ﴾ [الرحمن: 7]

ومن أهم فروع الرياضيات التي تدرس التغيّر التفاضل، وأداته الأساسية المشتقة. وفي هذا البحث نتعرف على مفهوم المشتقة وتعريفها بالنهاية، وقواعد الاشتقاق، وأمثلة محلولة عليها، وبعض تطبيقاتها في الهندسة والفيزياء وحل المسائل العملية.

تعريف الموضوع

المشتقة هي معدّل تغيّر الدالة عند نقطة معيّنة، أي مقدار تغيّر قيمة الدالة بالنسبة إلى تغيّر المتغيّر المستقل. وإذا كانت الدالة f معرَّفة حول العدد x فإن مشتقتها عند x تُعرَّف بالنهاية الآتية، بشرط أن تكون النهاية موجودة:

f'(x) = lim_h→0 [ f(x + h) − f(x) ] / h

ويُرمز إلى المشتقة بعدة رموز، أشهرها f'(x) ورمز لايبنتز dy/dx. والدالة التي لها مشتقة عند نقطة تسمى قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة. وكل دالة قابلة للاشتقاق عند نقطة فهي متصلة عندها، لكن العكس غير صحيح، فالدالة y = |x| متصلة عند الصفر ولا مشتقة لها هناك.

أهمية الموضوع

تكمن أهمية المشتقة في أنها تحوّل الأسئلة عن التغيّر إلى عمليات حسابية منظمة. فهي تحدد سرعة الجسم المتحرك ومعدل نمو السكان وميل المنحنى، وتبيّن أين تكون القيم أكبر ما يمكن أو أصغر ما يمكن، وهذا مهم في الصناعة والاقتصاد وتوفير المواد والتكاليف. وهي كذلك مدخل أساسي لدراسة التكامل والمعادلات التفاضلية في المراحل الجامعية.

أهداف البحث

• التعرف على مفهوم المشتقة وتعريفها بالنهاية.
• فهم المعنى الهندسي والفيزيائي للمشتقة.
• إتقان قواعد الاشتقاق الأساسية.
• حل أمثلة متنوعة على الاشتقاق خطوة بخطوة.
• التعرف على تطبيقات المشتقة في المماس والقيم العظمى والصغرى والسرعة.

عناصر البحث

أولًا: نبذة تاريخية

تطوّر التفاضل في القرن السابع عشر الميلادي، وارتبط اسمه بالعالم الإنجليزي إسحاق نيوتن والعالم الألماني غوتفريد لايبنتز، وقد توصّل كلٌّ منهما إليه بصورة مستقلة. وسبقتهما جهود علماء كثيرين في دراسة المماسات والمساحات والحركة، ومنهم علماء مسلمون أسهموا في تطوير الجبر والهندسة والبصريات، وهي علوم مهّدت لاحقًا لهذا الفرع من الرياضيات. وما زال رمز لايبنتز dy/dx مستعملًا في الكتب إلى اليوم.

ثانيًا: المعنى الهندسي والفيزيائي للمشتقة

• المعنى الهندسي: مشتقة الدالة عند نقطة تساوي ميل المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة. فإذا قرّبنا نقطة ثانية من النقطة الأولى على المنحنى اقترب القاطع من المماس، وهذا ما تعبّر عنه النهاية في التعريف.
• المعنى الفيزيائي: إذا كان الموضع s دالة في الزمن t فإن مشتقته هي السرعة اللحظية، ومشتقة السرعة هي التسارع.

ثالثًا: قواعد الاشتقاق

لا نحتاج إلى استعمال التعريف بالنهاية في كل مسألة، إذ استُخرجت منه قواعد عامة تختصر العمل. وفيما يأتي أهمها، حيث c عدد ثابت وn عدد حقيقي، و f و g دالتان قابلتان للاشتقاق:

ومن المشتقات المهمة للدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية:

(sin x)' = cos x

(cos x)' = − sin x

(e^x)' = e^x

(ln x)' = 1 / x   (x > 0)

رابعًا: أمثلة محلولة

المثال الأول: أوجد مشتقة f(x) = x² باستعمال التعريف بالنهاية.

f'(x) = lim_h→0 [ (x + h)² − x² ] / h

= lim_h→0 [ 2xh + h² ] / h

= lim_h→0 ( 2x + h ) = 2x

إذن مشتقة x² هي 2x، وهي تطابق ما تعطيه قاعدة القوة.

المثال الثاني: أوجد مشتقة الدالة الآتية:

f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7x − 2

نشتق كل حد على حدة بقاعدة القوة، ومشتقة الثابت صفر، فنحصل على:

f'(x) = 12x³ − 10x + 7

المثال الثالث: أوجد مشتقة f(x) = (x² + 1)(x³ − 2x) بقاعدة الضرب.

f'(x) = 2x (x³ − 2x) + (x² + 1)(3x² − 2)

= 2x⁴ − 4x² + 3x⁴ − 2x² + 3x² − 2

= 5x⁴ − 3x² − 2

وللتحقق من الناتج نضرب القوسين أولًا فنحصل على x⁵ − x³ − 2x، ومشتقتها تعطي النتيجة نفسها تمامًا.

المثال الرابع: أوجد مشتقة f(x) = x / (x² + 1) بقاعدة القسمة.

f'(x) = [ 1 · (x² + 1) − x · 2x ] / (x² + 1)²

= (1 − x²) / (x² + 1)²

المثال الخامس: أوجد مشتقة f(x) = (3x + 1)⁵ بقاعدة السلسلة.

الدالة الخارجية هي القوة الخامسة والداخلية هي ثلاثة x زائد واحد، ومشتقة الداخلية تساوي ثلاثة:

f'(x) = 5 (3x + 1)⁴ · 3 = 15 (3x + 1)⁴

المثال السادس: أوجد مشتقة f(x) = sin (x²).

f'(x) = cos (x²) · 2x = 2x cos (x²)

خامسًا: تطبيقات المشتقة

أ) معادلة المماس

أوجد معادلة المماس لمنحنى f(x) = x² عند النقطة التي فيها x يساوي اثنين.

f(2) = 4    f'(x) = 2x    f'(2) = 4

ميل المماس أربعة، ويمر بالنقطة التي إحداثياتها (2 ، 4)، فتكون معادلته بصيغة النقطة والميل:

y − 4 = 4 (x − 2)    ⇒    y = 4x − 4

ب) القيم العظمى والصغرى

تكون الدالة عند أقصى قيمة أو أدنى قيمة لها في المواضع التي تنعدم فيها المشتقة الأولى أو لا تتحدد، وتسمى النقاط الحرجة. ثم نستعمل المشتقة الثانية للحكم: إذا كانت موجبة عند النقطة الحرجة فهي نهاية صغرى، وإذا كانت سالبة فهي نهاية عظمى.

مثال: أوجد النهاية الصغرى للدالة الآتية:

f(x) = x² − 6x + 5

f'(x) = 2x − 6 = 0    ⇒    x = 3

f''(x) = 2 > 0

f(3) = 9 − 18 + 5 = −4

إذن للدالة نهاية صغرى قيمتها سالب أربعة عند x يساوي ثلاثة.

ج) السرعة والتسارع

يتحرك جسم على خط مستقيم، وموضعه بالأمتار بعد t ثانية يعطيه القانون s(t) = t³ − 6t² + 9t. نوجد سرعته وتسارعه:

v(t) = s'(t) = 3t² − 12t + 9 = 3 (t − 1)(t − 3)

a(t) = v'(t) = 6t − 12

تنعدم السرعة عندما يساوي الزمن ثانية واحدة وعندما يساوي ثلاث ثوانٍ، أي أن الجسم يتوقف لحظيًا في هاتين اللحظتين ثم يغيّر اتجاه حركته. وتنعدم عجلته عند الثانية الثانية.

د) مسألة تحسين

سياج طوله أربعون مترًا نريد أن نحيط به مستطيلًا بأكبر مساحة ممكنة. إذا كان طول أحد ضلعيه x فإن الضلع الآخر 20 − x:

A(x) = x (20 − x) = 20x − x²

A'(x) = 20 − 2x = 0    ⇒    x = 10

A''(x) = −2 < 0

فالنهاية عظمى، وعندها يكون الضلعان متساويين، أي أن أكبر مساحة تتحقق عندما يكون المستطيل مربعًا، ومساحته مئة متر مربع.

النتائج

• المشتقة معدل تغيّر الدالة، وتعرَّف بنهاية نسبة تغيّر الدالة إلى تغيّر المتغيّر.
• مشتقة الدالة عند نقطة هي ميل المماس عند تلك النقطة، وهي أيضًا السرعة اللحظية في المسائل الفيزيائية.
• قواعد الاشتقاق تغني عن استعمال التعريف في أغلب المسائل.
• تُستعمل المشتقتان الأولى والثانية لإيجاد القيم العظمى والصغرى وحل مسائل التحسين.

التوصيات

• إتقان النهايات والجبر قبل دراسة الاشتقاق، فالأخطاء الجبرية أكثر أسباب الخطأ في المسائل.
• حل عدد كبير من الأمثلة على كل قاعدة، والتحقق من الناتج بطريقة ثانية كلما أمكن.
• رسم المنحنى عند حل مسائل المماس والنهايات ليتضح المعنى الهندسي.
• الربط بين الاشتقاق والحياة العملية بمسائل السرعة والمساحة والتكلفة.

الخاتمة

تعرّفنا في هذا البحث على المشتقة بوصفها أداة تقيس التغيّر، وعلى تعريفها بالنهاية ومعناها الهندسي والفيزيائي، وتدربنا على قواعد الاشتقاق من خلال أمثلة محلولة، ورأينا كيف تُستعمل في إيجاد المماس والنهايات العظمى والصغرى والسرعة. والمشتقة بداية الطريق إلى فروع أوسع في الرياضيات والعلوم الهندسية، وكلما أتقنها الطالب اتسعت أمامه آفاق الفهم والإبداع.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• ستيوارت، جيمس، «حساب التفاضل والتكامل» (Calculus).
• توماس، جورج، «حساب التفاضل والتكامل» (Thomas' Calculus).