بحث عن دوال التغير

مقدمة البحث

الحمد لله الذي خلق كل شيء بقدر، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الرياضيات لغة الكون التي تصف العلاقات بين الأشياء بدقة، وقد قال الله تعالى:

﴿إِنَّا كُلَّ شَيْءٍ خَلَقْنَاهُ بِقَدَرٍ﴾ [القمر: 49]

ومن أهم العلاقات التي ندرسها في الرياضيات علاقة تغير كمية بتغير كمية أخرى، كتغير المسافة بتغير الزمن، وتغير الأجرة بتغير عدد الكيلومترات، وتغير الزمن اللازم لإنجاز عمل بتغير عدد العمال. وتسمى هذه العلاقات دوال التغير، وفي هذا البحث نتعلم أنواعها وأمثلتها وتطبيقاتها.

تعريف الموضوع

دالة التغير علاقة بين متغيرين أو أكثر تربط بينها ثابت يسمى ثابت التغير. ونقول إن الكمية الأولى تتغير مع الثانية إذا كانت قيمتها تتأثر بتغير قيمة الثانية وفق قاعدة ثابتة. وتنقسم دوال التغير إلى أربعة أنواع هي: التغير الطردي، والتغير العكسي، والتغير المشترك، والتغير المركب.

أهمية الموضوع

• تدخل دوال التغير في الفيزياء والكيمياء والاقتصاد والهندسة، فهي أساس كثير من القوانين.
• تساعد على حل مسائل الحياة اليومية كالسرعة والأسعار والنسب.
• تنمي مهارة التفكير المنطقي وتمثيل العلاقات بيانيًا وجبريًا.
• تمهد لدراسة الدوال الأخرى كالدالة الخطية والدوال النسبية.

أهداف البحث

• تعريف التغير الطردي والعكسي والمشترك والمركب.
• إيجاد ثابت التغير وكتابة معادلة التغير.
• حل مسائل تطبيقية بخطوات منظمة.
• تمثيل التغير الطردي والعكسي بيانيًا.

أولًا: التغير الطردي

نقول إن y تتغير طرديًا مع x إذا كانت النسبة بينهما ثابتة، أي أنه كلما زادت إحداهما زادت الأخرى بالنسبة نفسها، وكلما نقصت نقصت الأخرى. وصيغته:

y = k x

حيث k ثابت التغير ولا يساوي صفرًا. وتمثيله البياني خط مستقيم يمر بنقطة الأصل.

مثال محلول

إذا كانت y تتغير طرديًا مع x وكانت y تساوي 12 عندما تكون x تساوي 3 فأوجد y عندما تكون x تساوي خمسة.

k = y ÷ x = 12 ÷ 3 = 4

y = 4 x

عند x = 5 فإن y = 4 × 5 = 20

وهناك طريقة أخرى سريعة هي النسبة والتناسب: إذا كانت (x₁ ، y₁) و(x₂ ، y₂) نقطتين على العلاقة نفسها فإن:

y₁ ÷ x₁ = y₂ ÷ x₂

ثانيًا: التغير العكسي

نقول إن y تتغير عكسيًا مع x إذا كان حاصل ضربهما ثابتًا، أي أنه كلما زادت إحداهما نقصت الأخرى بالنسبة نفسها. وصيغته:

y = k ÷ x    أي أن    x y = k

وتمثيله البياني منحنى يسمى القطع الزائد، ولا يقطع المحورين.

مثال محلول

تتغير y عكسيًا مع x، وكانت y تساوي 6 عندما تكون x تساوي أربعة. أوجد y عندما تكون x تساوي ثمانية.

k = x × y = 4 × 6 = 24

y = 24 ÷ x

عند x = 8 فإن y = 24 ÷ 8 = 3

ونلاحظ أنه لما تضاعفت x من أربعة إلى ثمانية صارت y نصف ما كانت عليه، وهذه خاصية التغير العكسي.

ثالثًا: التغير المشترك

التغير المشترك هو أن تتغير كمية طرديًا مع حاصل ضرب كميتين أو أكثر. فنقول إن z تتغير مشتركًا مع x و y إذا كانت:

z = k x y

مثال محلول

تتغير z مشتركًا مع x وy، وكانت z تساوي 24 عندما تكون x تساوي 2 وy تساوي ثلاثة. أوجد z عندما تكون x تساوي خمسة وy تساوي اثنين.

k = z ÷ (x y) = 24 ÷ (2 × 3) = 4

z = 4 x y = 4 × 5 × 2 = 40

ومن أمثلته الحياتية مساحة المستطيل التي تتغير مشتركًا مع طوله وعرضه، والثابت فيها يساوي واحدًا.

رابعًا: التغير المركب

التغير المركب يجمع بين التغير الطردي والعكسي في علاقة واحدة. فمثلًا إذا تغيرت z طرديًا مع x وعكسيًا مع y فإن:

z = k x ÷ y

مثال محلول

تتغير z طرديًا مع x وعكسيًا مع y، وكانت z تساوي 10 عندما تكون x تساوي 4 وy تساوي اثنين. أوجد z عندما تكون x تساوي ستة وy تساوي ثلاثة.

k = z y ÷ x = 10 × 2 ÷ 4 = 5

z = 5 x ÷ y = 5 × 6 ÷ 3 = 10

خامسًا: مقارنة بين أنواع التغير

سادسًا: تطبيقات حياتية

• الطردي: المسافة المقطوعة بسرعة ثابتة تتغير طرديًا مع الزمن، وثمن عدد من الأقلام يتغير طرديًا مع عددها.
• العكسي: زمن قطع مسافة معينة يتغير عكسيًا مع السرعة، والزمن اللازم لإنجاز عمل يتغير عكسيًا مع عدد العمال المتساوين في الكفاءة.
• المشترك: مساحة المثلث تتغير مشتركًا مع قاعدته وارتفاعه، وحجم متوازي المستطيلات مع أبعاده الثلاثة.
• المركب: شدة قوة الجذب بين جسمين تتناسب طرديًا مع حاصل ضرب كتلتيهما وعكسيًا مع مربع المسافة بينهما.

مثال تطبيقي

يقطع سائق مسافة بين مدينتين في ساعتين بسرعة ثابتة تساوي ثمانين كيلومترًا في الساعة. كم يستغرق إذا زاد سرعته إلى مئة وستين كيلومترًا في الساعة؟ الزمن يتغير عكسيًا مع السرعة، وحاصل ضربهما ثابت يساوي المسافة:

80 × 2 = 160    إذن    t = 160 ÷ 160 = 1

فيستغرق ساعة واحدة، لأن السرعة تضاعفت فصار الزمن نصفًا.

سابعًا: خطوات حل مسائل التغير

1. اقرأ المسألة وحدد نوع التغير: طردي أو عكسي أو مشترك أو مركب.
2. اكتب الصيغة العامة المناسبة التي فيها k.
3. عوّض القيم المعطاة لإيجاد ثابت التغير.
4. اكتب معادلة التغير بعد معرفة k.
5. عوّض القيم الجديدة للمتغيرات لإيجاد المطلوب.
6. راجع الجواب بالتحقق من معقوليته، فإذا زادت الكمية في التغير الطردي وجب أن تزيد الأخرى.

الخاتمة

تعلمنا في هذا البحث أن دوال التغير تصف العلاقات المنتظمة بين الكميات، وأنها تشمل التغير الطردي والعكسي والمشترك والمركب، وأن ثابت التغير هو مفتاح حل المسائل. وقد رأينا أمثلة محلولة وتطبيقات من الحياة اليومية والعلوم. ويحتاج الطالب إلى التدريب المستمر حتى يتقن التمييز بين الأنواع وحل مسائلها. نسأل الله أن ينفعنا بما علمنا.

المراجع

• كتاب الرياضيات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتب الجبر والدوال الجامعية المقررة في السنة التحضيرية.
• الموسوعات الرياضية العامة في مادة الدوال والتناسب.

كلمات دليلية