بحث عن كثيرات الحدود ودوالها

مقدمة البحث

تُعدّ كثيرات الحدود من أهم موضوعات الجبر، فهي الأساس الذي تُبنى عليه دراسة الدوال والمعادلات في المرحلة الثانوية والجامعة. ونستخدمها في حياتنا أكثر مما نتخيل؛ فمسار الكرة المقذوفة، وحساب مساحة قطعة أرض بدلالة طول ضلعها، وتقدير الأرباح في المشروعات، كلها تُوصف بكثيرات حدود. وفي هذا البحث نتعرّف على مفهوم كثيرة الحدود، وأنواعها، والعمليات عليها، ثم ندرس دوال كثيرات الحدود وتمثيلها البياني وأصفارها.

تعريف الموضوع

وحيدة الحد هي عدد، أو متغير، أو حاصل ضرب عدد في متغير واحد أو أكثر بأسس صحيحة غير سالبة، مثل العدد ٥ أو المتغير س أو ٣س^٢ أو ٤س^٣ص

كثيرة الحدود هي وحيدة حد أو مجموع وحيدات حد، ويُسمّى كل منها حدًّا. فمثلًا العبارة ٢س^٣ − ٥س + ٧ كثيرة حدود من ثلاثة حدود.

أما العبارات التي فيها متغير في المقام، أو متغير تحت الجذر، أو أس سالب أو كسري، مثل ١ ÷ س أو √س، فليست كثيرات حدود.

ودالة كثيرة الحدود هي دالة يمكن كتابتها على الصورة:

ق(س) = أ_نس^ن + أ_ن−١س^ن−١ + … + أ_١س + أ_٠

حيث ن عدد صحيح غير سالب، والمعاملات أعداد حقيقية، والمعامل أ_ن لا يساوي صفرًا.

أهمية الموضوع

• تمثّل كثيرات الحدود أبسط أنواع الدوال وأكثرها استخدامًا، فهي اللبنة الأولى لفهم الدوال النسبية والأسية والتفاضل والتكامل.
• تُستخدم لنمذجة الظواهر في الفيزياء والهندسة والاقتصاد، مثل الحركة والمساحات والأحجام والتكاليف.
• تساعد على حل المسائل الحياتية بتحويلها إلى معادلات يمكن حلها.

أهداف البحث

• التعرّف على مفهوم كثيرة الحدود ودرجتها ومعاملها الرئيس.
• إجراء العمليات الأساسية على كثيرات الحدود.
• تحديد سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود.
• إيجاد أصفار دالة كثيرة الحدود وربطها بالتمثيل البياني.

عناصر البحث

أولًا: درجة كثيرة الحدود ومعاملها الرئيس

درجة وحيدة الحد هي مجموع أسس متغيراتها، فدرجة ٣س^٢ص هي ٣ لأن ٢ + ١ = ٣ ودرجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة بين حدودها. وعند كتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية، أي مرتبة تنازليًا حسب الأسس، يكون الحد الأول هو الحد الرئيس، ومعامله هو المعامل الرئيس.

مثال: في ق(س) = ٥س^٤ + ٣س^٢ − س + ٦ تكون الدرجة ٤ والمعامل الرئيس ٥

وتُسمّى كثيرات الحدود حسب درجتها:

ثانيًا: العمليات على كثيرات الحدود

الجمع والطرح: نجمع الحدود المتشابهة فقط، وهي الحدود التي لها المتغيرات نفسها بالأسس نفسها.

مثال: (٣س^٢ + ٢س − ٥) + (س^٢ − ٤س + ١) = ٤س^٢ − ٢س − ٤

وعند الطرح نوزّع إشارة السالب على كل حدود كثيرة الحدود الثانية ثم نجمع:

(٥س^٢ − س) − (٢س^٢ + ٣س) = ٣س^٢ − ٤س

الضرب: نضرب كل حد في الأولى في كل حد في الثانية، ثم نجمع الحدود المتشابهة، مع تطبيق قاعدة ضرب القوى: س^م × س^ن = س^م+ن.

مثال: (س + ٣)(س − ٢) = س^٢ − ٢س + ٣س − ٦ = س^٢ + س − ٦

القسمة: يمكن قسمة كثيرة حدود على وحيدة حد بقسمة كل حد عليها، أو على كثيرة حدود أخرى بالقسمة الطويلة أو القسمة التركيبية عندما يكون المقسوم عليه على الصورة (س − ج)

مثال: (٦س^٣ − ٤س^٢ + ٢س) ÷ ٢س = ٣س^٢ − ٢س + ١

ثالثًا: سلوك طرفي التمثيل البياني

يصف سلوك الطرفين ما يحدث لقيم ق(س) عندما تكبر س كثيرًا في الاتجاه الموجب أو السالب، ويتحدد بالدرجة والمعامل الرئيس فقط:

رابعًا: أصفار دالة كثيرة الحدود

صفر الدالة هو قيمة س التي تجعل ق(س) = صفرًا، ويظهر في التمثيل البياني نقطةَ تقاطع المنحنى مع محور السينات. ولدالة كثيرة الحدود من الدرجة ن عدد ن من الأصفار على الأكثر من الأعداد الحقيقية.

مثال محلول: أوجد أصفار ق(س) = س^٣ − ٤س.

• نُخرج العامل المشترك: ق(س) = س(س^٢ − ٤)
• نحلّل الفرق بين مربعين: ق(س) = س(س − ٢)(س + ٢)
• نساوي كل عامل بالصفر فتكون الأصفار هي: صفر واثنان وسالب اثنين

إذن يقطع المنحنى محور السينات في ثلاث نقاط، ولأن الدرجة فردية والمعامل الرئيس موجب، يبدأ المنحنى من أسفل اليسار وينتهي في أعلى اليمين.

خامسًا: نظريتا الباقي والعوامل

نظرية الباقي: إذا قُسمت كثيرة الحدود ق(س) على (س − ج) فإن الباقي يساوي ق(ج).

نظرية العوامل: يكون (س − ج) عاملًا من عوامل ق(س) إذا وفقط إذا كان ق(ج) = صفرًا.

مثال: هل (س − ١) عامل من عوامل ق(س) = س^٣ − ٢س^٢ + ١ ؟ نعوّض فنجد ق(١) = ١ − ٢ + ١ = صفر، إذن (س − ١) عامل

النتائج

• كثيرة الحدود مجموع وحيدات حد بأسس صحيحة غير سالبة، وتتحدد درجتها بأكبر أس فيها.
• جمع كثيرات الحدود وطرحها يعتمد على الحدود المتشابهة، وضربها يعتمد على خاصية التوزيع.
• الدرجة والمعامل الرئيس وحدهما يحددان سلوك طرفي التمثيل البياني.
• أصفار الدالة هي نقاط تقاطع منحناها مع محور السينات، وتحليل كثيرة الحدود أسهل طريق لإيجادها.

التوصيات

• التدرّب على كتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية قبل أي عملية، لتجنّب الأخطاء.
• التحقق من الإجابة بالتعويض، أو بتمثيل الدالة بيانيًا باستخدام برنامج أو آلة حاسبة بيانية.
• حفظ جدول سلوك الطرفين وفهمه، لأنه يختصر كثيرًا من خطوات رسم المنحنى.

الخاتمة

تعرّفنا في هذا البحث على كثيرات الحدود من تعريفها إلى أصفارها، ورأينا كيف تربط بين الجبر والتمثيل البياني. وإتقان هذا الموضوع خطوة ضرورية للنجاح في الرياضيات المتقدمة، فهو يتكرر في دراسة الدوال والمعادلات والتفاضل لاحقًا. ونسأل الله أن يكون هذا البحث نافعًا لكل طالب وطالبة.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتب الجبر ومبادئ الدوال المعتمدة في المناهج الدراسية العربية.