ورقاتشرح درس نظرية فيثاغورس ثاني متوسط الفصل الأول
في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الساقين: أ² + ب² = جـ².
أهداف الدرس
- يحدد الوتر والساقين في مثلث قائم الزاوية.
- يستعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلع مجهول.
- يستعمل عكس النظرية لمعرفة هل المثلث قائم.
- يتحقق من أن الوتر هو أطول الأضلاع.
المفهوم الأساسي
في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الساقين: أ² + ب² = جـ².
شرح الدرس
يسند عامل سلمًا إلى جدار فيكوّن السلم والجدار والأرض مثلثًا قائم الزاوية. إذا عرفنا ضلعين فيه فيمكننا حساب الثالث بنظرية فيثاغورس.
أجزاء المثلث القائم
- الساقان: الضلعان المحيطان بالزاوية القائمة ونرمز لهما أ و ب.
- الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو أطول الأضلاع ونرمز له جـ.
«أ² + ب² = جـ²»
نتحقق في المثلث المرسوم: ٣² + ٤² = ٩ + ١٦ = ٢٥ = ٥² وهذا صحيح.
إيجاد الوتر
ساقا مثلث قائم ٥ سم و١٢ سم. جـ² = ٥² + ١٢² = ٢٥ + ١٤٤ = ١٦٩ إذن جـ = √١٦٩ = ١٣ سم.
إذا لم يكن الناتج مربعًا كاملًا نقرّبه: ساقان ٤ و٦ يعطيان جـ² = ١٦ + ٣٦ = ٥٢ وجـ = √٥٢ ≈ ٧٫٢
إيجاد ساق مجهولة
وتر مثلث قائم ١٣ سم وإحدى ساقيه ٥ سم. أ² + ٥² = ١٣² أي أ² + ٢٥ = ١٦٩ إذن أ² = ١٤٤ وأ = ١٢ سم.
عكس النظرية
إذا حققت أطوال ثلاثة أضلاع العلاقة أ² + ب² = جـ² (حيث جـ الأطول) فالمثلث قائم الزاوية.
- هل ٧ و٢٤ و٢٥ تكوّن مثلثًا قائمًا؟ ٧² + ٢٤² = ٤٩ + ٥٧٦ = ٦٢٥ = ٢٥² نعم.
- هل ٥ و٦ و٨ تكوّن مثلثًا قائمًا؟ ٥² + ٦² = ٢٥ + ٣٦ = ٦١ وهو لا يساوي ٦٤ = ٨² إذن لا.
الوتر دائمًا هو الأطول، فهو الذي يوضع وحده في طرف المعادلة.
لا تطبق النظرية إلا على المثلث القائم الزاوية.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
أوجد الوتر في مثلث ساقاه ٦ سم و٨ سم.
جـ² = ٣٦ + ٦٤ = ١٠٠ إذن جـ = ١٠ سم.
أن يطبق الطالب النظرية لإيجاد الوتر.
التدريب الثاني
وتر مثلث قائم ١٧ سم وإحدى ساقيه ٨ سم. أوجد الساق الأخرى.
ب² = ٢٨٩ − ٦٤ = ٢٢٥ إذن ب = ١٥ سم.
أن يوجد الطالب ساقًا مجهولة.
المسألة الثالثة
هل أطوال الأضلاع ٩ و١٢ و١٥ تكوّن مثلثًا قائمًا؟
٨١ + ١٤٤ = ٢٢٥ = ١٥² نعم.
أن يستعمل الطالب عكس النظرية.
ملاحظات مهمة
- 1الوتر يقابل الزاوية القائمة وهو الأطول.
- 2أ² + ب² = جـ² في المثلث القائم فقط.
- 3عند إيجاد ساق نطرح: أ² = جـ² − ب².
- 4نجرب عكس النظرية بتربيع الأضلاع الثلاثة.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأجمع الأضلاع دون تربيع ٣ + ٤ = ٥ —✓ الصواب: نربّع أولًا ٩ + ١٦ = ٢٥ ثم نأخذ الجذر.
- ✗ خطأجمع مربعي الوتر والساق لإيجاد الساق الأخرى.✓ الصواب: نطرح مربع الساق من مربع الوتر.
ملخص الدرس
- الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم.
- أ² + ب² = جـ².
- أجد الوتر بالجمع ثم الجذر، وأجد الساق بالطرح ثم الجذر.
- عكس النظرية يكشف المثلث القائم.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
