ورقاتشرح درس علاقات الزوايا والمستقيمات ثاني متوسط الفصل الأول
إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين تساوت الزوايا المتبادلة والمتناظرة، وكانت كل زاويتين على جهة واحدة من القاطع بين المستقيمين متكاملتين، ومجموع قياسيهما ١٨٠°
أهداف الدرس
- يتعرف الزوايا المتقابلة بالرأس والمتتامة والمتكاملة ويجد قياس الزاوية المجهولة.
- يحدد أزواج الزوايا الناتجة عن قاطع يقطع مستقيمين: المتبادلة داخليًا وخارجيًا والمتناظرة.
- يستعمل خصائص المستقيمين المتوازيين لإيجاد قياسات زوايا مجهولة.
- يميّز المستقيمين المتعامدين ويستعمل أن زواياهما قوائم.
المفهوم الأساسي
إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين تساوت الزوايا المتبادلة والمتناظرة، وكانت كل زاويتين على جهة واحدة من القاطع بين المستقيمين متكاملتين، ومجموع قياسيهما ١٨٠°
شرح الدرس
عندما تنظر إلى سكة القطار وإلى العوارض الخشبية التي تقطعها، ترى مستقيمات تتقاطع وتصنع زوايا كثيرة. في هذا الدرس نتعلم كيف نعرف قياس زاوية من زاوية أخرى دون قياس.
زوايا متقابلة بالرأس
إذا تقاطع مستقيمان كوّنا أربع زوايا. كل زاويتين متقابلتين عند نقطة التقاطع تسميان زاويتين متقابلتين بالرأس، وهما متساويتان في القياس.
«الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان»
مثال: إذا تقاطع مستقيمان وكانت إحدى الزوايا ٤٠° فإن الزاوية المقابلة لها ٤٠° أيضًا، وكل من الزاويتين الأخريين ١٤٠°
زوايا متتامة وزوايا متكاملة
- متتامتان: زاويتان مجموع قياسيهما ٩٠° مثل ٣٠° و ٦٠°
- متكاملتان: زاويتان مجموع قياسيهما ١٨٠° مثل ١٣٠° و ٥٠°
فإذا كانت زاوية ٣٥° فمتممتها ٩٠° − ٣٥° = ٥٥° وتكملتها ١٨٠° − ٣٥° = ١٤٥°
الزاويتان على استقامة واحدة، أي المتجاورتان على مستقيم، متكاملتان.
المستقيمان المتعامدان
المستقيمان المتعامدان يتقاطعان فتكون الزوايا الأربع كلها قائمة، قياس كل منها ٩٠° — نكتب علامة مربع صغير عند التقاطع.
مستقيمان متوازيان وقاطع
المستقيمان المتوازيان لا يتقاطعان مهما امتدّا، والمسافة بينهما ثابتة. والقاطع مستقيم يقطع المستقيمين فتنشأ ثماني زوايا.
في الشكل ل و م متوازيان، والقاطع ق يقطعهما، والزوايا مرقمة من ١ إلى ٨ — الزوايا ١ و ٣ و ٥ و ٧ كلها ٦٥° والزوايا ٢ و ٤ و ٦ و ٨ كلها ١١٥°
- زوايا متناظرة: في الموضع نفسه عند كل مستقيم، مثل الزاويتين ١ و ٥ وكل منهما ٦٥° — وهي متساوية.
- زوايا متبادلة داخليًا: بين المستقيمين وعلى جهتين مختلفتين من القاطع، مثل الزاويتين ٣ و ٥ وكل منهما ٦٥° — وهي متساوية.
- زوايا متبادلة خارجيًا: خارج المستقيمين وعلى جهتين مختلفتين من القاطع، مثل الزاويتين ١ و ٧ وكل منهما ٦٥° — وهي متساوية.
- زوايا داخلية على جهة واحدة: مثل الزاويتين ٣ و ٦ فمجموعهما ٦٥° + ١١٥° = ١٨٠° وهما متكاملتان.
«المستقيمان المتوازيان: الزوايا المتناظرة والمتبادلة متساوية»
نجد زاوية مجهولة
في الشكل نفسه، إذا كانت الزاوية ٢ تساوي ١١٥° فما الزاوية ٨؟ الزاويتان ٢ و ٨ متبادلتان خارجيًا فهما متساويتان، إذن الزاوية ٨ = ١١٥°
وللزاوية ٦ نقول: ٦ و ٢ متناظرتان فتساويان ١١٥° أيضًا.
لا تطبّق هذه الخواص إلا إذا كان المستقيمان متوازيين.
نشاط تعليمي
المثال الأول
تقاطع مستقيمان وكانت إحدى الزوايا ٧٢° — أوجد الزوايا الثلاث الأخرى.
المقابلة لها ٧٢° والزاويتان الأخريان ١٨٠° − ٧٢° = ١٠٨° لكل منهما.
أن يستعمل الطالب الزوايا المتقابلة بالرأس والمتكاملة.
التطبيق الثاني
زاويتان متتامتان إحداهما ٢٨° — ما الأخرى؟
٩٠° − ٢٨° = ٦٢° — الهدف: أن يجد الطالب متممة زاوية.
المسألة الثالثة
مستقيمان متوازيان يقطعهما قاطع، وإحدى الزوايا الداخلية ٥٥° — ما قياس الزاوية المتبادلة داخليًا لها، وما قياس الزاوية الداخلية على الجهة نفسها منها؟
المتبادلة ٥٥° والداخلية على الجهة نفسها ١٨٠° − ٥٥° = ١٢٥° — الهدف: أن يستعمل الطالب خصائص المتوازيين.
ملاحظات مهمة
- 1الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان دائمًا.
- 2المتتامتان مجموعهما ٩٠° والمتكاملتان مجموعهما ١٨٠°
- 3مع المتوازيين: المتناظرة والمتبادلة داخليًا وخارجيًا متساوية.
- 4الزاويتان الداخليتان على جهة واحدة من القاطع متكاملتان.
- 5المستقيمان المتعامدان يكوّنان أربع زوايا قائمة.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأاعتبار الزاويتين المتجاورتين على مستقيم متساويتين دائمًا.✓ الصواب: هما متكاملتان، أي مجموعهما ١٨٠° ولا تتساويان إلا إذا كانت كل منهما ٩٠°
- ✗ خطأخلط المتتامتين بالمتكاملتين.✓ الصواب: المتتامتان ٩٠° والمتكاملتان ١٨٠°
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأاستعمال تساوي الزوايا المتبادلة مع مستقيمين غير متوازيين.✓ الصواب: تأكد أولًا أن المستقيمين متوازيان.
ملخص الدرس
- الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان.
- المتتامتان مجموعهما ٩٠° والمتكاملتان ١٨٠°
- القاطع يقطع متوازيين فتتساوى الزوايا المتناظرة والمتبادلة.
- الزاويتان الداخليتان على جهة واحدة متكاملتان.
- المستقيمان المتعامدان زواياهما ٩٠°
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
