ورقاتشرح درس المضلعات والزوايا ثاني متوسط الفصل الأول
مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع عدد أضلاعه ن يساوي (ن − ٢) × ١٨٠° — وفي المضلع المنتظم تتساوى جميع الزوايا، فقياس كل زاوية = مجموع الزوايا ÷ ن.
أهداف الدرس
- يجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب بالصيغة (ن − ٢) × ١٨٠°
- يجد قياس زاوية واحدة في مضلع منتظم.
- يجد زاوية مجهولة في مضلع إذا عُلمت باقي زواياه.
- يفسر كيف تنشأ الصيغة بتقسيم المضلع إلى مثلثات.
المفهوم الأساسي
مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع عدد أضلاعه ن يساوي (ن − ٢) × ١٨٠° — وفي المضلع المنتظم تتساوى جميع الزوايا، فقياس كل زاوية = مجموع الزوايا ÷ ن.
شرح الدرس
البلاط السداسي في الحدائق وعلامة التوقف الثمانية الأضلاع كلاهما مضلع. وفي كل مضلع زوايا مجموعها ثابت يتوقف على عدد الأضلاع.
نقسم المضلع إلى مثلثات
نختار رأسًا في المضلع ونرسم منه كل القطع الممكنة إلى الرؤوس الأخرى، فينقسم المضلع إلى مثلثات. في الشكل خماسي أ ب جـ د هـ قُسِّم من الرأس أ إلى ٣ مثلثات مرقمة ١ و ٢ و ٣
مجموع زوايا كل مثلث ١٨٠° فمجموع زوايا الخماسي = ٣ × ١٨٠° = ٥٤٠° — عدد المثلثات دائمًا ٢ أقل من عدد الأضلاع، لأن الخماسي له ٥ أضلاع و ٥ − ٢ = ٣
«مجموع الزوايا الداخلية = (ن − ٢) × ١٨٠°»
الجدول
- المثلث ن = ٣: (٣ − ٢) × ١٨٠° = ١٨٠°
- الرباعي ن = ٤: (٤ − ٢) × ١٨٠° = ٣٦٠°
- الخماسي ن = ٥: (٥ − ٢) × ١٨٠° = ٥٤٠°
- السداسي ن = ٦: (٦ − ٢) × ١٨٠° = ٧٢٠°
- الثماني ن = ٨: (٨ − ٢) × ١٨٠° = ١٠٨٠°
زاوية المضلع المنتظم
المضلع المنتظم أضلاعه متساوية وزواياه متساوية. نقسم المجموع على عدد الزوايا.
مثال: السداسي المنتظم: ٧٢٠° ÷ ٦ = ١٢٠° لكل زاوية.
مثال: الثماني المنتظم: ١٠٨٠° ÷ ٨ = ١٣٥° لكل زاوية.
مثال: الخماسي المنتظم: ٥٤٠° ÷ ٥ = ١٠٨° لكل زاوية.
المربع مضلع منتظم زاويته ٩٠° لأن ٣٦٠° ÷ ٤ = ٩٠°
زاوية مجهولة
رباعي زواياه ٩٠° و ٨٠° و ١١٠° وزاوية رابعة س. مجموع الزوايا ٣٦٠° فنجمع المعلوم: ٩٠° + ٨٠° + ١١٠° = ٢٨٠° ← س = ٣٦٠° − ٢٨٠° = ٨٠°
خماسي زواياه ١٠٠° و ١١٠° و ١٢٠° و ٩٠° وخامسة ص. المجموع ٥٤٠° والمعلوم ٤٢٠° ← ص = ٥٤٠° − ٤٢٠° = ١٢٠°
الصيغة تُستعمل للمضلعات المحدبة، أي التي لا تدخل أي زاوية منها إلى الداخل.
نشاط تعليمي
المثال الأول
أوجد مجموع الزوايا الداخلية للسباعي.
(٧ − ٢) × ١٨٠° = ٥ × ١٨٠° = ٩٠٠° — الهدف: أن يطبق الطالب الصيغة.
التطبيق الثاني
ما قياس زاوية في مضلع منتظم له ١٠ أضلاع؟
٨ × ١٨٠° = ١٤٤٠° ثم ١٤٤٠° ÷ ١٠ = ١٤٤° — الهدف: أن يجد الطالب زاوية المضلع المنتظم.
المسألة الثالثة
خماسي فيه ٤ زوايا قياس كل منها ١٠٠° — ما الخامسة؟
٤٠٠° ثم ٥٤٠° − ٤٠٠° = ١٤٠° — الهدف: أن يجد الطالب زاوية مجهولة.
ملاحظات مهمة
- 1عدد المثلثات داخل المضلع = ن − ٢
- 2مجموع الزوايا الداخلية = (ن − ٢) × ١٨٠°
- 3زاوية المضلع المنتظم = المجموع ÷ ن.
- 4مجموع زوايا الرباعي ٣٦٠° ومجموع زوايا الخماسي ٥٤٠°
أخطاء شائعة
- ✗ خطأاستعمال ن × ١٨٠° للمجموع.✓ الصواب: اطرح ٢ أولًا فتكون الصيغة (ن − ٢) × ١٨٠°
- ✗ خطأقسمة المجموع على ن − ٢ لإيجاد الزاوية الواحدة.✓ الصواب: اقسم على ن لأن عدد الزوايا ن.
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأتطبيق قياس زاوية المنتظم على مضلع غير منتظم.✓ الصواب: الزوايا لا تتساوى إلا في المنتظم.
ملخص الدرس
- نقسم المضلع إلى (ن − ٢) من المثلثات.
- مجموع الزوايا الداخلية = (ن − ٢) × ١٨٠°
- زاوية المنتظم = (ن − ٢) × ١٨٠° ÷ ن.
- نجد الزاوية المجهولة بالطرح من المجموع.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
