بحث عن الدوال والمتباينات

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فإن الرياضيات لغة الكون التي نصف بها الأشياء من حولنا، وقد قال الله تعالى:

﴿إِنَّا كُلَّ شَيْءٍ خَلَقْنَاهُ بِقَدَرٍ﴾ [القمر: 49]

وتقوم هذه اللغة على مفاهيم أساسية، من أهمها الدوال التي تصف العلاقة بين كميتين، والمتباينات التي تقارن بين قيمتين غير متساويتين. وفي هذا البحث نتعرف على الدالة وأنواعها وطرق تمثيلها، ثم على المتباينة وخصائصها وطريقة حلها.

تعريف الموضوع

الدالة علاقة تربط كل عنصر من مجموعة تسمى المجال بعنصر واحد فقط من مجموعة أخرى تسمى المدى. أما المتباينة فهي جملة رياضية تقارن بين مقدارين باستخدام أحد الرموز الآتية: أكبر من، أصغر من، أكبر من أو يساوي، أصغر من أو يساوي.

أهمية الموضوع

تكمن أهمية الدوال في أنها تساعدنا على وصف ظواهر الحياة، فالمسافة التي تقطعها سيارة تتغير بتغير الزمن، وأجرة سيارة الأجرة تتغير بتغير المسافة. وتفيد المتباينات في المواقف التي لا يكون فيها الجواب قيمة واحدة، كأن نقول إن ثمن ما أشتريه يجب ألا يزيد على ما معي من مال.

أهداف البحث

• التعرف على مفهوم الدالة والمجال والمدى.
• التمييز بين الدالة الخطية والدالة التربيعية.
• تمثيل الدالة بالجدول والمخطط والرسم البياني والقاعدة.
• التعرف على خصائص المتباينات.
• حل المتباينات الخطية وتمثيل الحل على خط الأعداد.

أولًا: الدوال

مفهوم الدالة

إذا كان لكل قيمة للمتغير المستقل x قيمة واحدة فقط للمتغير التابع y فإن العلاقة بينهما دالة. ونكتب الدالة بالصيغة الآتية:

y = f(x)

ويُقرأ الرمز f(x) «د من س»، وهو يعني قيمة الدالة عند x. فإذا كانت الدالة f(x) = 2x + 1 فإن قيمتها عند x = 3 تساوي:

f(3) = 2(3) + 1 = 7

المجال والمدى

المجال هو مجموعة جميع القيم الممكنة للمتغير المستقل x، والمدى هو مجموعة جميع القيم الناتجة للمتغير التابع y. ففي الدالة التي تحسب مساحة مربع طول ضلعه x لا يمكن أن يكون الطول سالبًا، فيكون المجال الأعداد الموجبة فقط.

اختبار الخط الرأسي

لمعرفة هل العلاقة الممثلة بيانيًا دالة نرسم خطًا رأسيًا يتحرك على الرسم. فإن قطع المنحنى في نقطة واحدة فقط في كل موضع فهي دالة، وإن قطعه في نقطتين أو أكثر في أي موضع فليست دالة.

أنواع الدوال

الدالة الخطية: صيغتها العامة هي:

f(x) = mx + b

حيث m ميل المستقيم وb الجزء المقطوع من محور y. ويكون تمثيلها البياني خطًا مستقيمًا. فمثلًا الدالة f(x) = 2x + 1 ميلها 2 وتقطع محور y عند النقطة (0 , 1).

الدالة التربيعية: صيغتها العامة هي:

f(x) = ax² + bx + c , a ≠ 0

ويكون تمثيلها البياني منحنى يسمى القطع المكافئ، يكون مفتوحًا إلى أعلى إذا كانت a موجبة، وإلى أسفل إذا كانت a سالبة. وله نقطة رأس هي أعلى أو أدنى نقطة فيه، ومحور تماثل يمر بالرأس. ومن أبسط أمثلتها:

f(x) = x²

وفيها f(2) = 4 وf(-2) = 4 أيضًا، أي أن قيمتها واحدة لعددين متقابلين.

طرق تمثيل الدالة

• القاعدة (الصيغة الجبرية): مثل الدالة f(x) = 3x - 2 وغيرها.
• الجدول: نختار قيمًا للمتغير x ونحسب ما يقابلها من قيم y.
• المخطط السهمي: نربط عناصر المجال بعناصر المدى بأسهم.
• التمثيل البياني: نرسم الأزواج المرتبة (x , y) على المستوى الإحداثي.

وفيما يأتي جدول للدالة f(x) = 2x + 1:

ثانيًا: المتباينات

مفهوم المتباينة

المتباينة جملة مفتوحة تحتوي على أحد رموز المقارنة، وحلها هو مجموعة القيم التي تجعلها صحيحة. ومن أمثلتها:

x + 3 > 7

2x ≤ 10

خصائص المتباينات

• خاصية الجمع والطرح: إذا أضفنا العدد نفسه إلى طرفي المتباينة أو طرحناه منهما بقي اتجاه المتباينة كما هو.
• الضرب والقسمة في عدد موجب: يبقى اتجاه المتباينة كما هو.
• الضرب والقسمة في عدد سالب: ينعكس اتجاه المتباينة. فمثلًا من المتباينة الصحيحة 2 < 5 نضرب الطرفين في -1 فنحصل على -2 > -5 وهكذا.
• خاصية التعدي: إذا كان a < b وكان b < c فإن a < c.

خطوات حل المتباينة الخطية

1. نبسّط طرفي المتباينة إن احتاج الأمر.
2. نجمع الحدود التي فيها المتغير في طرف، والأعداد في الطرف الآخر.
3. نقسم الطرفين على معامل المتغير، ونعكس اتجاه المتباينة إن كان المعامل سالبًا.
4. نمثل الحل على خط الأعداد ونتحقق منه بتجربة قيمة.

أمثلة محلولة

المثال الأول: حل المتباينة الآتية:

x + 3 > 7

نطرح 3 من الطرفين:

x > 4

المثال الثاني: حل المتباينة الآتية:

3x - 2 ≤ 10

نضيف 2 إلى الطرفين ثم نقسم على 3:

3x ≤ 12

x ≤ 4

المثال الثالث: حل المتباينة الآتية، وانتبه لقسمة الطرفين على عدد سالب:

-2x > 8

نقسم الطرفين على -2 وننعكس اتجاه المتباينة:

x < -4

التمثيل على خط الأعداد

نمثل حل المتباينة على خط الأعداد بدائرة على العدد الحدّي. وتكون الدائرة مفتوحة إذا كان الرمز أكبر من أو أصغر من، لأن العدد الحدي ليس من الحل، وتكون مغلقة إذا كان الرمز أكبر من أو يساوي أو أصغر من أو يساوي، لأن العدد الحدي من الحل. ثم نظلل الجهة التي فيها قيم الحل: إلى اليمين عند أكبر من، وإلى اليسار عند أصغر من.

مسألة حياتية

مع طالب مبلغ 50 ريالا، ويريد شراء دفاتر ثمن الواحد منها 4 ريالات، فكم دفترًا يستطيع أن يشتري؟ نفرض أن عدد الدفاتر x فتكون المتباينة:

4x ≤ 50

وبقسمة الطرفين على 4 نجد أن x أصغر من أو تساوي اثني عشر ونصفًا، وبما أن عدد الدفاتر عدد صحيح فأكبر عدد ممكن هو 12 دفترًا.

الخاتمة

عرفنا في هذا البحث أن الدالة علاقة تربط كل قيمة من المجال بقيمة واحدة من المدى، وأن من أبرز أنواعها الدالة الخطية التي يمثلها مستقيم، والدالة التربيعية التي يمثلها قطع مكافئ، وأنها تُمثَّل بالقاعدة والجدول والمخطط والرسم البياني. وعرفنا أن المتباينة تقارن بين مقدارين، وأن حلها يخضع لخصائص تشبه خصائص المعادلات مع الانتباه لانعكاس الاتجاه عند الضرب أو القسمة في عدد سالب. ونوصي الطلاب بالتدرب على الرسم والتحقق من الحلول بتجربة قيم.

المراجع

• كتاب الرياضيات المقرر على طلاب المرحلة المتوسطة والثانوية في المملكة العربية السعودية.
• كتب الجبر المدرسي العامة التي تتناول الدوال والمتباينات.