بحث عن نظرية ديموافر

مقدمة البحث

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على نبينا محمد. أما بعد، فقد جعل الله العقل البشري قادرًا على اكتشاف قوانين دقيقة تحكم الأعداد والأشكال، ومن هذه القوانين نظرية ديموافر التي تربط بين الأعداد المركبة وعلم المثلثات برباط جميل. وهي من أكثر نظريات الأعداد المركبة استعمالًا في حساب القوى والجذور، ولذلك تُدرس في المرحلة الثانوية وفي السنة الأولى من الجامعة.

تعريف الموضوع

العدد المركب هو عدد يكتب على الصورة a + bi، حيث a و b عددان حقيقيان، و i وحدة تخيلية تحقق أن مربعها يساوي سالب واحد. ويمكن تمثيل العدد المركب بنقطة في المستوى، فيكون له مقياس هو بعد النقطة عن نقطة الأصل، وسعة هي الزاوية التي يصنعها الخط الواصل بين الأصل والنقطة مع المحور الحقيقي الموجب.

أما نظرية ديموافر فهي نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي الأصل الإنجليزي الإقامة أبراهام ديموافر، الذي أسهم في الاحتمالات والأعداد المركبة، وعاش من سنة 1667 إلى سنة 1754 للميلاد.

أهمية الموضوع

تكمن أهمية النظرية في أنها تحوّل عملية صعبة، وهي رفع عدد مركب إلى قوة كبيرة، إلى عملية سهلة، وهي ضرب الزاوية في الأس. كما أنها تتيح إيجاد جميع الجذور المركبة للأعداد، وتُستعمل في اشتقاق متطابقات مثلثية، وفي الهندسة الكهربائية ومعالجة الإشارات حيث تمثل الموجات بأعداد مركبة.

أهداف البحث

• التعرف على الصيغة القطبية للعدد المركب.
• معرفة نص نظرية ديموافر وإثباتها بالاستقراء الرياضي.
• حل أمثلة على إيجاد قوى الأعداد المركبة وجذورها.
• التعرف على تطبيقات النظرية في المتطابقات المثلثية.

عناصر البحث

أولًا: الصيغة القطبية للعدد المركب

إذا كان العدد المركب z = a + bi، فإن مقياسه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي a و b ونرمز له بالحرف r، وسعته θ تحقق أن a = r cos θ وأن b = r sin θ. وعندئذ يمكن كتابة العدد على الصورة القطبية:

z = r (cos θ + i sin θ)

وهذه الصيغة مفيدة جدًا في الضرب والقسمة، لأنه عند ضرب عددين مركبين بصيغتهما القطبية تُضرب المقاييس وتُجمع السعات، وهذا يمهّد مباشرة لنظرية ديموافر.

ثانيًا: نص النظرية

لكل عدد حقيقي θ ولكل عدد صحيح n يتحقق ما يلي:

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ

وبالتالي إذا كان z = r (cos θ + i sin θ) فإن:

zⁿ = rⁿ (cos nθ + i sin nθ)

أي أن رفع العدد المركب إلى القوة n يعني رفع مقياسه إلى القوة n وضرب سعته في n.

ثالثًا: برهان النظرية بالاستقراء الرياضي

نبرهن أولًا للأعداد الصحيحة الموجبة n.

• الخطوة الأولى: عندما يكون n يساوي واحدًا تكون النظرية صحيحة بوضوح، لأن الطرفين يساويان cos θ + i sin θ.
• الخطوة الثانية: نفرض أن النظرية صحيحة عندما يكون n يساوي k، أي أن:

(cos θ + i sin θ)^k = cos kθ + i sin kθ

• الخطوة الثالثة: نثبت صحتها عندما يكون n مساويًا للعدد k + 1 فنضرب الطرفين في cos θ + i sin θ:

(cos θ + i sin θ)^k+1 = (cos kθ + i sin kθ)(cos θ + i sin θ)

= (cos kθ cos θ - sin kθ sin θ) + i (sin kθ cos θ + cos kθ sin θ)

= cos (k+1)θ + i sin (k+1)θ

وقد استعملنا هنا قانوني جيب التمام وجيب مجموع زاويتين. وبما أن النظرية صحيحة لـ n يساوي واحدًا، وصحتها عند k تقتضي صحتها عند العدد التالي له، فهي صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة.

أما الأعداد الصحيحة السالبة فنكتب n = -m حيث m موجب، ونستعمل أن مقلوب العدد cos θ + i sin θ هو cos θ - i sin θ، فنحصل على نفس النتيجة. وعندما يكون n صفرًا تكون النظرية صحيحة لأن الطرفين يساويان واحدًا.

رابعًا: أمثلة على القوى

المثال الأول: احسب (1 + i) مرفوعًا إلى القوة الثامنة.

مقياس العدد 1 + i هو الجذر التربيعي للعدد 2 وسعته الزاوية π/4 كما يلي:

1 + i = √2 (cos π/4 + i sin π/4)

وبتطبيق النظرية:

(1 + i)⁸ = (√2)⁸ (cos 2π + i sin 2π) = 16 (1 + 0i) = 16

وهكذا حصلنا على الناتج بخطوتين، بينما يحتاج الضرب المباشر إلى خطوات طويلة.

المثال الثاني: أثبت أن cos 3θ = 4 cos³θ - 3 cos θ.

من نظرية ديموافر:

cos 3θ + i sin 3θ = (cos θ + i sin θ)³

وبفك الطرف الأيمن بنظرية ذات الحدين وأخذ الجزء الحقيقي نجد:

cos 3θ = cos³θ - 3 cos θ sin²θ

وبتعويض sin²θ = 1 - cos²θ نحصل على:

cos 3θ = 4 cos³θ - 3 cos θ

خامسًا: جذور الأعداد المركبة

إذا كان z = r (cos θ + i sin θ) فإن للعدد z بالضبط n من الجذور من الرتبة n، تعطيها الصيغة:

w_k = r^1/n [cos ((θ + 2πk)/n) + i sin ((θ + 2πk)/n)]

حيث k يأخذ القيم من الصفر إلى n - 1 وتقع هذه الجذور على دائرة واحدة مركزها الأصل، وهي رؤوس مضلع منتظم عدد أضلاعه n.

المثال الثالث: أوجد الجذور التكعيبية للعدد 8 مبينًا ذلك.

نكتب 8 = 8 (cos 0 + i sin 0)، ثم نطبق الصيغة مع n يساوي ثلاثة:

w_k = 2 [cos (2πk/3) + i sin (2πk/3)]

• عند k يساوي صفرًا: الجذر الأول هو 2 نفسه.
• عند k يساوي واحدًا: الجذر الثاني هو -1 + i√3 فقط.
• عند k يساوي اثنين: الجذر الثالث هو -1 - i√3 أيضًا.

ويمكن التحقق بسهولة أن مكعب كل جذر منها يساوي 8 بالفعل.

سادسًا: تطبيقات النظرية

• اشتقاق قوانين الزوايا المتعددة مثل جيب التمام وجيب الزاوية الثلاثية.
• حل المعادلات من الشكل zⁿ = c في مجموعة الأعداد المركبة.
• تمثيل الجذور النونية للواحد على دائرة الوحدة، وهي أساس في تحليل الإشارات.
• تمهيد لصيغة أويلر التي تكتب العدد المركب بصورة أسية.

النتائج

• الصيغة القطبية تسهّل ضرب الأعداد المركبة وقسمتها ورفعها إلى القوى.
• تنص نظرية ديموافر على أن رفع cos θ + i sin θ إلى القوة n يعطي cos nθ + i sin nθ.
• يمكن إثبات النظرية بالاستقراء الرياضي ثم تعميمها للأعداد الصحيحة السالبة والصفر.
• للعدد المركب غير الصفري عدد من الجذور النونية يساوي n، تقع على رؤوس مضلع منتظم.

التوصيات

• الإكثار من التدرب على تحويل الأعداد المركبة بين الصيغتين الديكارتية والقطبية.
• الانتباه إلى ربع المستوى الذي يقع فيه العدد عند تحديد سعته.
• استعمال برامج الرسم الرياضي لتمثيل الجذور هندسيًا وفهمها بصريًا.

الخاتمة

تعرّفنا في هذا البحث على نظرية ديموافر: صيغتها القطبية، ونصها، وبرهانها بالاستقراء، وتطبيقها في حساب القوى والجذور والمتطابقات المثلثية. وتدل هذه النظرية على الانسجام العجيب بين فروع الرياضيات، حيث تتلاقى الجبر والهندسة والمثلثات في صيغة واحدة بسيطة.

المراجع

• كتب الرياضيات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية.
• كتب التحليل المركب والأعداد المركبة الجامعية.
• موسوعات تاريخ الرياضيات، في الحديث عن أبراهام ديموافر.