ورقاتشرح درس مبدأ العد الأساسي اول متوسط الفصل الثاني
مبدأ العد الأساسي: إذا كان الاختيار الأول له م طريقة والثاني له ن طريقة فعدد الطرق الكلية للاختيارين معا هو م × ن، ويمتد المبدأ إلى أكثر من اختيارين بالضرب.
أهداف الدرس
- يستعمل مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج.
- يطبق المبدأ على أكثر من مرحلتين.
- يفرق بين الاختيار مع التكرار وبدون تكرار.
- يستعمل العد لإيجاد احتمال حادثة.
المفهوم الأساسي
مبدأ العد الأساسي: إذا كان الاختيار الأول له م طريقة والثاني له ن طريقة فعدد الطرق الكلية للاختيارين معا هو م × ن، ويمتد المبدأ إلى أكثر من اختيارين بالضرب.
شرح الدرس
في مطعم المدرسة ٣ أنواع من المقبلات و٤ أطباق رئيسة و٢ من الحلويات. كم وجبة مختلفة يمكن لفهد أن يطلب إذا اختار نوعا واحدا من كل صنف؟ يمكن أن نرسم شجرة ضخمة، لكن هناك طريقة أسرع.
مبدأ العد الأساسي
«عدد الطرق الكلية = عدد طرق الاختيار الأول × عدد طرق الاختيار الثاني × ...»
- المقبلات: ٣ طرق
- الأطباق الرئيسة: ٤ طرق
- الحلويات: ٢ طريقة
- عدد الوجبات الكلي: ٣ × ٤ × ٢ = ٢٤ وجبة
لماذا نضرب؟
لكل طريقة في الاختيار الأول نجد كل طرق الاختيار الثاني. فمقبل واحد يعطي ٤ وجبات جزئية مع الأطباق، وبما أن المقبلات ٣ نضرب ٣ × ٤ = ١٢ ثم لكل منها ٢ حلوى فنضرب ١٢ × ٢ = ٢٤
مثال: رمز سري
رمز سري من ٣ أرقام، وكل رقم من ٠ إلى ٩ ويجوز تكراره.
- خيارات الرقم الأول ١٠
- خيارات الرقم الثاني ١٠
- خيارات الرقم الثالث ١٠
- عدد الرموز ١٠ × ١٠ × ١٠ = ١٠٠٠ رمز
مثال: بلا تكرار
٥ متسابقين يتنافسون على المركز الأول والثاني. كم طريقة لتوزيع المركزين؟
- المركز الأول: ٥ اختيارات
- المركز الثاني: ٤ اختيارات لأن الفائز لا يمكن أن يكون ثانيا أيضا
- الطرق: ٥ × ٤ = ٢٠ طريقة
العد والاحتمال
تخمين رمز سري من رقمين يجوز تكرارهما: عدد الرموز ١٠ × ١٠ = ١٠٠ فاحتمال التخمين من المحاولة الأولى ١١٠٠ أي ١٪
احتمال طلب وجبة محددة من وجبات المطعم ١٢٤
متى نجمع ومتى نضرب؟
- نضرب عندما نختار من كل مجموعة اختيارا ويتم الاختيار معا
- نجمع عندما نختار من مجموعة أو من الأخرى لا الاثنتين معا
في الاختيار بلا تكرار ينقص عدد الخيارات واحدا في كل مرحلة.
لا تجمع الأعداد في مبدأ العد؛ فقميصان وثلاثة بنطالات لا يعطيان ٥ بل ٦ طرق.
نشاط تعليمي
النشاط الأول
لدى نورة ٣ حقائب و٢ حذاء و٤ أوشحة. كم طريقة لتنسيقها؟
٣ × ٢ × ٤ = ٢٤ طريقة.
أن يطبق الطالب المبدأ على ثلاث مراحل.
التدريب الثاني
يكوّن سلمان رمزا من حرفين مختلفين من الحروف أ ب ج د هـ و. كم رمزا يمكنه تكوين؟
٦ × ٥ = ٣٠ رمزا.
أن يطبق الطالب المبدأ بلا تكرار.
المسألة الثالثة
ما احتمال تخمين رمز مكون من ٣ أرقام يجوز تكرارها من المحاولة الأولى؟
١/١٠٠٠ أي ٠٫١٪ من المحاولات.
أن يربط الطالب العد بالاحتمال.
ملاحظات مهمة
- 1المبدأ: نضرب عدد طرق كل اختيار.
- 2مع التكرار تبقى الخيارات كما هي.
- 3بدون تكرار تنقص الخيارات واحدا.
- 4احتمال ناتج محدد = ١ ÷ عدد النواتج الكلي.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأجمع عدد الاختيارات بدل ضربها.✓ الصواب: نضرب أعداد الطرق لأن كل اختيار يتحد مع كل اختيار آخر.
- ✗ خطأنسيان أن الاختيار بلا تكرار ينقص الخيارات.✓ الصواب: بعد اختيار عنصر يقل العدد المتاح في المرحلة التالية.
ملخص الدرس
- مبدأ العد الأساسي: نضرب أعداد الطرق.
- يمتد المبدأ لأكثر من مرحلتين.
- بدون تكرار ينقص عدد الخيارات.
- احتمال ناتج محدد ١ ÷ عدد النواتج.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
