ورقاتشرح درس مقاييس النزعة المركزية والمدى اول متوسط الفصل الثاني
مقاييس النزعة المركزية هي الوسط الحسابي والوسيط والمنوال، وكل منها يصف قيمة تتوسط البيانات أو تمثلها، أما المدى فيصف مدى تشتت البيانات.
أهداف الدرس
- يجد الوسط الحسابي والوسيط والمنوال لمجموعة بيانات.
- يجد المدى لمجموعة بيانات.
- يقارن بين مقاييس النزعة المركزية.
- يختار المقياس الأنسب لوصف البيانات.
المفهوم الأساسي
مقاييس النزعة المركزية هي الوسط الحسابي والوسيط والمنوال، وكل منها يصف قيمة تتوسط البيانات أو تمثلها، أما المدى فيصف مدى تشتت البيانات.
شرح الدرس
حصلت سارة في خمسة اختبارات قصيرة على الدرجات ٧٥ و٨٠ و٨٠ و٩٠ و٩٥ — تريد أن تخبر والدها بدرجة واحدة تصف مستواها. أي عدد تختار؟ هنا تبدأ حكاية المقاييس.
الوسط الحسابي
الوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوما على عددها.
- نجمع القيم: ٧٥ + ٨٠ + ٨٠ + ٩٠ + ٩٥ = ٤٢٠
- نقسم على عدد القيم وهو ٥: ٤٢٠ ÷ ٥ = ٨٤
الوسط الحسابي لدرجات سارة ٨٤
«الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عدد القيم»
الوسيط
الوسيط هو القيمة التي تقع في منتصف البيانات بعد ترتيبها من الأصغر إلى الأكبر.
- نرتب القيم: ٧٥ و٨٠ و٨٠ و٩٠ و٩٥
- القيمة الوسطى هي الثالثة: ٨٠
إذا كان عدد القيم زوجيا فالوسيط هو وسط القيمتين الوسطيين.
- البيانات: ٢ و٤ و٦ و٨
- القيمتان الوسطيان ٤ و٦ فنحسب (٤ + ٦) ÷ ٢ = ٥
الوسيط ٥ رغم أنه ليس بين القيم المعطاة
المنوال
المنوال هو القيمة الأكثر تكرارا في البيانات.
- في درجات سارة تكرر ٨٠ مرتين وبقية القيم مرة واحدة فالمنوال ٨٠
- قد لا يوجد منوال إذا لم تتكرر أي قيمة، وقد يوجد أكثر من منوال
المدى
المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة، وهو يبين مدى تباعد البيانات.
- أكبر قيمة ٩٥ وأصغر قيمة ٧٥
- المدى = ٩٥ − ٧٥ = ٢٠
متى نستعمل كل مقياس؟
أعمار ٦ لاعبين في فريق: ٣ و٤ و٤ و٥ و٦ و٢٦ وفيها قيمة متطرفة هي ٢٦ سنة، وهي عمر المدرب سجل بالخطأ.
- الوسط الحسابي: ٤٨ ÷ ٦ = ٨ وهو يتأثر كثيرا بالقيمة المتطرفة فلا يمثل البيانات جيدا
- الوسيط: نرتب القيم فنجد القيمتين الوسطيين ٤ و٥ فالوسيط ٤٫٥ وهو أقرب لمعظم القيم
- المنوال: ٤ وهو أيضا قريب من معظم البيانات
- المدى: ٢٦ − ٣ = ٢٣ وهو كبير بسبب القيمة المتطرفة
قاعدة سريعة:
- الوسط الحسابي: مناسب عندما لا توجد قيم متطرفة
- الوسيط: مناسب عندما توجد قيم متطرفة
- المنوال: مناسب عندما نريد أكثر قيمة شيوعا مثل مقاس الحذاء الأكثر مبيعا
أرتب القيم دائما قبل إيجاد الوسيط.
الوسط الحسابي لا يساوي الوسيط في كل البيانات، وقد يختلفان كثيرا عند وجود قيمة متطرفة.
نشاط تعليمي
النشاط الأول
أوجد الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى للبيانات ٥ و٧ و٧ و٨ و١٣ فما النتائج؟
الوسط ٤٠ ÷ ٥ = ٨ والوسيط ٧ والمنوال ٧ والمدى ١٣ − ٥ = ٨ ويدل على التباعد.
أن يجد الطالب المقاييس الأربعة.
التدريب الثاني
أسعار خمسة كتب بالريال: ٢٠ و٢٥ و٢٥ و٣٠ و١٠٠ ريال فأي مقياس يصف السعر الأنسب؟
الوسيط ٢٥ أو المنوال ٢٥ لأن ١٠٠ قيمة متطرفة ترفع الوسط الحسابي إلى ٤٠ ريالا.
أن يختار الطالب المقياس الأنسب.
المسألة الثالثة
بيانات عدد الأهداف في ٤ مباريات: ١ و٣ و٤ و٦ فما الوسيط؟
القيمتان الوسطيان ٣ و٤ فالوسيط ٣٫٥ أهداف.
أن يجد الطالب الوسيط لعدد زوجي من القيم.
ملاحظات مهمة
- 1الوسط الحسابي: المجموع ÷ العدد.
- 2الوسيط: القيمة الوسطى بعد الترتيب.
- 3المنوال: القيمة الأكثر تكرارا.
- 4المدى: أكبر قيمة − أصغر قيمة.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأإيجاد الوسيط دون ترتيب البيانات.✓ الصواب: أرتب القيم من الأصغر إلى الأكبر ثم أحدد الوسط.
- ✗ خطأاعتبار المنوال عدد مرات التكرار.✓ الصواب: المنوال هو القيمة نفسها وليس عدد تكرارها.
ملخص الدرس
- أجد الوسط الحسابي بالجمع ثم القسمة على العدد.
- أجد الوسيط بالترتيب ثم أختار الوسط.
- المنوال هو الأكثر تكرارا والمدى هو الفرق بين الأكبر والأصغر.
- الوسيط والمنوال أنسب عند وجود قيمة متطرفة.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
