ورقاتشرح درس المعدل الثابت للتغير ثاني متوسط الفصل الأول
إذا كان معدل التغير بين أي زوجين من قيم الجدول هو العدد نفسه فالعلاقة خطية، ويمثّلها خط مستقيم.
أهداف الدرس
- يتعرّف المعدل الثابت للتغير والعلاقة الخطية.
- يحدد من جدول هل معدل التغير ثابت أم لا.
- يتعرّف العلاقة الخطية من تمثيلها بخط مستقيم.
- يميّز بين العلاقة الخطية المتناسبة وغير المتناسبة.
المفهوم الأساسي
إذا كان معدل التغير بين أي زوجين من قيم الجدول هو العدد نفسه فالعلاقة خطية، ويمثّلها خط مستقيم.
شرح الدرس
تأجّر لمى دراجة من محل، ولاحظت أن المبلغ يزيد بمقدار ثابت مع كل ساعة. هل يمكن رسم هذه العلاقة بخط مستقيم؟ هذا ما نبحث عنه في هذا الدرس.
المعدل الثابت للتغير
تدفع لمى ريالا واحدا رسم فتح، ثم ٢ ريال عن كل ساعة. نسمّي عدد الساعات س والمبلغ ص:
- عند س = ٠ يكون ص = ١
- عند س = ١ يكون ص = ٣
- عند س = ٢ يكون ص = ٥
- عند س = ٣ يكون ص = ٧
نحسب معدل التغير بين كل زوجين متتاليين:
- من ٠ إلى ١: ٣ − ١ = ٢ على ١ − ٠ = ١ فالمعدل ٢
- من ١ إلى ٢: ٥ − ٣ = ٢ على ٢ − ١ = ١ فالمعدل ٢
- من ٢ إلى ٣: ٧ − ٥ = ٢ على ٣ − ٢ = ١ فالمعدل ٢
المعدل ثابت وهو ٢ دائمًا، ونسمّيه المعدل الثابت للتغير.
«المعدل الثابت للتغير يعني علاقة خطية، وتمثيلها خط مستقيم»
العلاقة الخطية من الرسم
نعيّن النقاط أ (٠ ، ١) وب (٢ ، ٥) وجـ (٤ ، ٩) ونصل بينها.
تقع النقاط الثلاث على خط واحد. من أ إلى ب المعدل (٥ − ١) ÷ (٢ − ٠) = ٢ ومن ب إلى جـ المعدل (٩ − ٥) ÷ (٤ − ٢) = ٢ فالمعدل ثابت.
خطية متناسبة أم لا؟
الخط في الشكل لا يمر بنقطة الأصل (٠ ، ٠) لأنه يقطع المحور الرأسي عند ص = ١ لذلك العلاقة خطية لكنها غير متناسبة. أما العلاقة ص = ٢ س فخطية ومتناسبة لأن خطها يمر بنقطة الأصل.
جدول معدله غير ثابت
عند س = ١ يكون ص = ١ وعند س = ٢ يكون ص = ٤ وعند س = ٣ يكون ص = ٩
من ١ إلى ٢ المعدل ٣ ومن ٢ إلى ٣ المعدل ٥ المعدلان مختلفان فالعلاقة غير خطية.
كل علاقة متناسبة خطية، لكن ليست كل علاقة خطية متناسبة.
أختبر معدل التغير بين أكثر من زوج قبل أن أحكم أن العلاقة خطية.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
الجدول: عند س = ١ يكون ص = ٤ وعند س = ٢ يكون ص = ٧ وعند س = ٣ يكون ص = ١٠ — هل المعدل ثابت؟
نعم، المعدل ٣ بين كل زوجين، فالعلاقة خطية.
أن يفحص الطالب ثبات المعدل.
التدريب الثاني
الجدول: عند س = ٠ يكون ص = ٠ وعند س = ١ يكون ص = ٥ وعند س = ٢ يكون ص = ١٠ — هل العلاقة خطية متناسبة؟
نعم، المعدل ٥ ثابت والخط يمر بنقطة الأصل.
أن يربط الطالب الخطية بالتناسب.
المسألة الثالثة
الجدول: عند س = ١ يكون ص = ٢ وعند س = ٢ يكون ص = ٦ وعند س = ٣ يكون ص = ١٢ — هل العلاقة خطية؟
لا، فالمعدل ٤ ثم ٦ غير ثابت.
أن يكتشف الطالب العلاقة غير الخطية.
ملاحظات مهمة
- 1المعدل الثابت للتغير يعني علاقة خطية.
- 2تمثّل العلاقة الخطية بخط مستقيم.
- 3إذا مرّ الخط بنقطة الأصل فالعلاقة متناسبة أيضًا.
- 4إذا تغيّر المعدل بين زوجين فالعلاقة غير خطية.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأالحكم بخطية العلاقة اعتمادًا على زوجين فقط.✓ الصواب: أحسب المعدل بين كل الأزواج المتتالية.
- ✗ خطأاعتبار كل علاقة خطية متناسبة.✓ الصواب: لا بد أن يمر الخط بنقطة الأصل لتكون متناسبة.
ملخص الدرس
- المعدل الثابت للتغير يدل على علاقة خطية.
- تمثيل العلاقة الخطية خط مستقيم.
- العلاقة الخطية المتناسبة خطها يمر بنقطة الأصل.
- اختلاف المعدلات يعني علاقة غير خطية.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
