ورقاتشرح درس العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة ثاني متوسط الفصل الأول
تكون العلاقة بين كميتين متناسبة إذا كانت النسبة بين قيمتي ص وقيمتي س ثابتة في كل الأزواج، وإلا فهي غير متناسبة.
أهداف الدرس
- يتعرّف العلاقة المتناسبة بأنها علاقة نسبة ص ÷ س فيها ثابتة.
- يفحص جدولًا ليحدد هل العلاقة متناسبة أم غير متناسبة.
- يستنتج أن تمثيل العلاقة المتناسبة بيانيًا خط مستقيم يمر بنقطة الأصل.
- يحلّ مسائل حياتية عن العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة.
المفهوم الأساسي
تكون العلاقة بين كميتين متناسبة إذا كانت النسبة بين قيمتي ص وقيمتي س ثابتة في كل الأزواج، وإلا فهي غير متناسبة.
شرح الدرس
تشتري سارة أقلامًا من المكتبة، وكلما زاد عدد الأقلام زاد المبلغ الذي تدفعه. هل يزيد المبلغ بالطريقة نفسها دائمًا؟ دعنا نكتشف ذلك.
العلاقة المتناسبة
ثمن القلم الواحد ٣ ريالات. نسمّي عدد الأقلام س، والثمن الكلي ص:
- عند س = ١ يكون ص = ٣
- عند س = ٢ يكون ص = ٦
- عند س = ٣ يكون ص = ٩
- عند س = ٤ يكون ص = ١٢
نقسم ص على س في كل زوج: ٣ ÷ ١ = ٣ ثم ٦ ÷ ٢ = ٣ ثم ٩ ÷ ٣ = ٣ ثم ١٢ ÷ ٤ = ٣
النسبة ثابتة وتساوي ٣ دائمًا، إذن العلاقة متناسبة، ويسمّى العدد ٣ ثابت التناسب.
«العلاقة المتناسبة: ص ÷ س تساوي العدد نفسه في كل الأزواج»
العلاقة غير المتناسبة
يأخذ نادٍ رياضي ١٠ ريالات رسم اشتراك، ثم ٥ ريالات عن كل حصة. نسمّي عدد الحصص س، والمبلغ الكلي ص:
- عند س = ١ يكون ص = ١٥
- عند س = ٢ يكون ص = ٢٠
- عند س = ٣ يكون ص = ٢٥
نحسب ص ÷ س: ١٥ ÷ ١ = ١٥ لكن ٢٠ ÷ ٢ = ١٠
النسبتان مختلفتان، إذن العلاقة غير متناسبة، بسبب رسم الاشتراك الثابت الذي دُفع من البداية.
التمثيل البياني
نرسم نقاط العلاقة المتناسبة ص = ٢ س. النقطة أ (١ ، ٢) والنقطة ب (٣ ، ٦) وتقعان على خط مستقيم يبدأ من نقطة الأصل (٠ ، ٠).
في الرسم، النقطة أ تعني أن س = ١ وص = ٢ والنقطة ب تعني أن س = ٣ وص = ٦ — النسبة في كل منهما ٢ كما في الجدول.
التمثيل البياني للعلاقة المتناسبة خط مستقيم يمر بنقطة الأصل (٠ ، ٠).
قد يكون الخط مستقيمًا ولا يمر بنقطة الأصل، وعندها تكون العلاقة غير متناسبة.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
تباع العصائر بسعر ٤ ريالات للعلبة. ما النسبة ص ÷ س إذا كان عدد العلب ١ و٢ و٣ والمبالغ ٤ و٨ و١٢؟ هل العلاقة متناسبة؟
النسبة ٤ في كل مرة، فالعلاقة متناسبة.
أن يحسب الطالب النسبة في كل زوج.
التدريب الثاني
يبلغ طول نبتة ٦ سم، وتنمو ٢ سم كل أسبوع، فيكون الطول بعد ١ و٢ و٣ أسابيع ٨ و١٠ و١٢ سم. هل الطول متناسب مع عدد الأسابيع؟
لا، لأن ٨ ÷ ١ = ٨ و١٠ ÷ ٢ = ٥ فالنسبتان مختلفتان.
أن يكتشف الطالب العلاقة غير المتناسبة.
المسألة الثالثة
تقطع سيارة ٦٠ كم في ساعة و١٢٠ كم في ساعتين و١٨٠ كم في ٣ ساعات. هل المسافة متناسبة مع الزمن؟
نعم، النسبة ٦٠ ثابتة وهي السرعة.
أن يطبّق الطالب التناسب على السرعة.
ملاحظات مهمة
- 1في العلاقة المتناسبة تكون النسبة ص ÷ س ثابتة.
- 2العدد الثابت يسمّى ثابت التناسب.
- 3إذا اختلفت النسبة في زوج واحد فقط فالعلاقة غير متناسبة.
- 4الخط المستقيم المار بنقطة الأصل يدل على علاقة متناسبة.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأاعتبار العلاقة متناسبة لأن ص تزداد عندما تزداد س.✓ الصواب: لا يكفي أن تزداد ص، بل يجب أن تبقى النسبة ص ÷ س ثابتة.
- ✗ خطأفحص زوج واحد فقط.✓ الصواب: أفحص كل الأزواج في الجدول قبل الحكم.
ملخص الدرس
- العلاقة المتناسبة نسبتها ص ÷ س ثابتة.
- تسمّى النسبة الثابتة ثابت التناسب.
- العلاقة غير المتناسبة تختلف نسبتها بين الأزواج.
- الخط المستقيم المار بنقطة الأصل يمثّل علاقة متناسبة.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
