ورقاتشرح درس الأعداد النسبية ثاني متوسط الفصل الأول
العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته على الصورة أ/ب حيث أ و ب عددان صحيحان و ب ≠ ٠ أي أن المقام لا يساوي صفرًا.
أهداف الدرس
- يتعرّف العدد النسبي ويحدد أنواعه.
- يكتب العدد الصحيح والكسر العشري المنتهي على صورة كسر.
- يكتب الكسر العشري الدوري على صورة كسر.
- يحوّل الكسر إلى كسر عشري بالقسمة.
المفهوم الأساسي
العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته على الصورة أ/ب حيث أ و ب عددان صحيحان و ب ≠ ٠ أي أن المقام لا يساوي صفرًا.
شرح الدرس
اشترت سارة ٣ أرباع كيلوجرام من التمر، ودفعت ٧٫٥ ريالات ثمنًا لعبوة عصير. كل من ٣٤ و ٧٫٥ يمكن كتابته على صورة كسر، وهذا ما يجعله عددًا نسبيًّا.
ما العدد النسبي؟
- البسط: العدد الصحيح أ فوق خط الكسر.
- المقام: العدد الصحيح ب تحت خط الكسر، ولا يمكن أن يكون صفرًا.
«العدد النسبي: أ/ب حيث ب ≠ ٠»
الكسر ٣٤ عدد نسبي، وكذلك −٢٥ فإشارة السالب تُكتب قبل البسط.
أنواع الأعداد النسبية
- الأعداد الصحيحة: كل عدد صحيح مثل ٥ و −٣ و ٠ نسبي لأنه يُكتب على صورة كسر مقامه ١ فمثلًا ٥ = ٥١ و −٣ = −٣١
- الكسور: مثل ٢٣ و −٧٨
- الكسور العشرية المنتهية: مثل ٠٫٢٥ و ٣٫٥ لأن لها عددًا محدودًا من الأرقام بعد الفاصلة.
- الكسور العشرية الدورية: مثل ٠٫٣٣٣… حيث يتكرر رقم أو مجموعة أرقام بلا نهاية.
- الأعداد الكسرية: مثل ٢ ١٢ فهي تساوي ٥٢
كتابة الكسر العشري المنتهي كسرًا
نقرأ العدد بحسب آخر منزلة عشرية فيه، ثم نبسّط الكسر.
- ٠٫٦ يُقرأ ستة أعشار، فهو ٦١٠ وبالتبسيط ٣٥
- ٠٫٧٥ يُقرأ خمسة وسبعون جزءًا من مئة، فهو ٧٥١٠٠ وبالتبسيط ٣٤
- ٢٫٣٥ يُقرأ مئتين وخمسة وثلاثين جزءًا من مئة، فهو ٢٣٥١٠٠ وبالتبسيط ٤٧٢٠
- −١٫٥ فهو −١٥١٠ وبالتبسيط −٣٢
كتابة الكسر العشري الدوري كسرًا
نريد كتابة ٠٫٣ والثلاثة تتكرر على صورة كسر، فنتبع الخطوات الآتية.
- نفرض أن س = ٠٫٣٣٣…
- نضرب الطرفين في ١٠ لأن الجزء المتكرر رقم واحد، فيكون ١٠ س = ٣٫٣٣٣…
- نطرح المعادلة الأولى من الثانية فيختفي الجزء المتكرر: ١٠ س − س = ٣٫٣٣٣… − ٠٫٣٣٣…
- ينتج ٩ س = ٣ فيكون س = ٣٩ = ١٣
«إذا تكرر رقمان نضرب في ١٠٠ وإذا تكرر رقم واحد نضرب في ١٠»
مثال آخر: س = ٠٫٧٢٧٢… يتكرر فيه رقمان، فنضرب في ١٠٠ فيكون ١٠٠ س = ٧٢٫٧٢٧٢… وبالطرح ٩٩ س = ٧٢ فيكون س = ٧٢٩٩ = ٨١١
تحويل الكسر إلى كسر عشري
نقسم البسط على المقام.
- ٣٨ = ٣ ÷ ٨ = ٠٫٣٧٥ وهو كسر منتهٍ.
- ٢٣ = ٢ ÷ ٣ = ٠٫٦٦٦… وهو كسر دوري.
- −٥٤ = −١٫٢٥
كل عدد نسبي إما كسر عشري منتهٍ أو كسر عشري دوري عند كتابته بالصورة العشرية.
الكسر الذي مقامه صفر مثل ٥٠ ليس عددًا نسبيًّا لأن القسمة على صفر غير معرّفة.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
اكتب ٠٫٨ على صورة كسر في أبسط صورة.
٠٫٨ = ٨١٠ = ٤٥ الهدف: أن يكتب الطالب كسرًا عشريًّا منتهيًا على صورة كسر.
التدريب الثاني
حوّل الكسر ٥٨ إلى كسر عشري.
٥ ÷ ٨ = ٠٫٦٢٥ وهو كسر منتهٍ.
أن يحوّل الطالب الكسر إلى كسر عشري بالقسمة.
المسألة الثالثة
اكتب ٠٫٥٥٥… على صورة كسر.
نفرض س = ٠٫٥٥٥… فيكون ١٠ س = ٥٫٥٥٥… وبالطرح ٩ س = ٥ فيكون س = ٥٩ الهدف: أن يكتب الطالب كسرًا عشريًّا دوريًّا على صورة كسر.
ملاحظات مهمة
- 1العدد النسبي يُكتب على الصورة أ/ب حيث ب ≠ ٠
- 2كل عدد صحيح عدد نسبي لأن مقامه يمكن أن يكون ١
- 3الكسر العشري المنتهي نكتبه كسرًا بحسب آخر منزلة عشرية ثم نبسّطه.
- 4الكسر العشري الدوري نضرب فيه بقوة مناسبة من ١٠ ثم نطرح.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأاعتبار ٠٫٣٣٣… عددًا غير نسبي لأنه لا ينتهي.✓ الصواب: هو عدد نسبي لأنه يساوي ١/٣
- ✗ خطأنسيان تبسيط الكسر بعد التحويل.✓ الصواب: نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر، فيكون ٦/١٠ هو ٣/٥ بعد التبسيط.
ملخص الدرس
- العدد النسبي هو العدد الذي يُكتب أ/ب حيث ب ≠ ٠
- الأعداد الصحيحة والكسور والكسور العشرية المنتهية والدورية كلها أعداد نسبية.
- نحوّل الكسر إلى كسر عشري بقسمة البسط على المقام.
- نحوّل الكسر العشري الدوري إلى كسر بفرض س ثم الضرب والطرح.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
