ورقاتشرح درس القوى والأسس ثاني متوسط الفصل الأول
القوة أⁿ وتُقرأ أ أس ن تعني ضرب الأساس أ في نفسه عدد مرات يساوي الأس ن، وعند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع الأسين.
أهداف الدرس
- يكتب الضرب المتكرر على صورة قوة ويحسب قيمتها.
- يضرب القوى ذات الأساس الواحد بجمع الأسس.
- يتعرّف الأس الصفري ويحسب قيمته.
- يتعرّف الأس السالب ويكتبه على صورة كسر.
المفهوم الأساسي
القوة أⁿ وتُقرأ أ أس ن تعني ضرب الأساس أ في نفسه عدد مرات يساوي الأس ن، وعند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع الأسين.
شرح الدرس
في لعبة، يتضاعف عدد النقاط كل جولة: ٢ ثم ٢ × ٢ ثم ٢ × ٢ × ٢ بدل كتابة الضرب المتكرر الطويل نستعمل القوى والأسس.
القوة والأساس والأس
٢³ تُقرأ ٢ أس ٣ وتعني ٢ × ٢ × ٢ = ٨
- الأساس: العدد الذي يتكرر في الضرب، وهو ٢ في المثال.
- الأس: عدد مرات تكرار الأساس، وهو ٣ في المثال.
«الأس يخبرنا كم مرة نكتب الأساس في الضرب»
- ٣⁴ = ٣ × ٣ × ٣ × ٣ = ٨١
- (−٢)³ = (−٢) × (−٢) × (−٢) = −٨
- (−٢)⁴ = (−٢) × (−٢) × (−٢) × (−٢) = ١٦
القوة الزوجية لعدد سالب ناتجها موجب، والقوة الفردية ناتجها سالب.
ضرب القوى ذات الأساس الواحد
«عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع الأسين»
- ٢³ × ٢⁴ = (٢ × ٢ × ٢) × (٢ × ٢ × ٢ × ٢) = ٢⁷ = ١٢٨
- ٥² × ٥ = ٥² × ٥¹ = ٥³ = ١٢٥
- س³ × س⁴ = س⁷
- ٣س² × ٢س³ = ٦س⁵ لأننا نضرب العددين ٣ × ٢ ونجمع أسي س
الأساسان يجب أن يكونا متساويين، فلا نستعمل القاعدة في ٢³ × ٣⁴.
الأس الصفري
نلاحظ النمط الآتي: ٢³ = ٨ ثم ٢² = ٤ ثم ٢¹ = ٢ وكل مرة ننقص الأس ١ فنقسم الناتج على ٢ إذن ٢⁰ = ١
- ٧⁰ = ١
- (−٥)⁰ = ١
«كل عدد غير الصفر مرفوع للأس صفر يساوي ١»
الأس السالب
نكمل النمط نفسه: ٢¹ = ٢ ثم ٢⁰ = ١ ثم ٢⁻¹ = ١٢ ثم ٢⁻² = ١٤ ثم ٢⁻³ = ١٨
٢⁻² = ١٢² = ١٤
«الأس السالب يعني النظير الضربي: أ⁻ⁿ = ١/أⁿ»
- ٣⁻² = ١٣² = ١٩
- ١٠⁻³ = ١١٠³ = ١/١٠٠٠ = ٠٫٠٠١
- ٢³ × ٢⁻¹ = ٢² = ٤ لأن ٣ + (−١) = ٢
الأس السالب لا يجعل الناتج سالبًا، فالقيمة ٢⁻² موجبة وتساوي ١٤
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
اكتب ٥ × ٥ × ٥ × ٥ على صورة قوة واحسب قيمتها.
٥⁴ = ٦٢٥ الهدف: أن يكتب الطالب الضرب المتكرر قوة.
التدريب الثاني
بسّط ٣⁴ × ٣² واكتب الناتج على صورة قوة.
٣⁴⁺² = ٣⁶ = ٧٢٩ الهدف: أن يضرب الطالب قوتين بجمع الأسين.
المسألة الثالثة
اكتب ٥⁻² على صورة كسر.
٥⁻² = ١٥² = ١٢٥ الهدف: أن يحوّل الطالب الأس السالب إلى كسر.
ملاحظات مهمة
- 1الأساس يتكرر في الضرب بعدد مرات الأس.
- 2عند ضرب قوى الأساس نفسه نجمع الأسس.
- 3أي عدد غير الصفر أسه صفر يساوي ١
- 4الأس السالب يعني الكسر المقلوب: أ⁻ⁿ = ١/أⁿ
أخطاء شائعة
- ✗ خطأكتابة ٢³ = ٢ × ٣ = ٦✓ الصواب: ٢³ = ٢ × ٢ × ٢ = ٨
- ✗ خطأضرب الأسين عند ضرب قوتين مثل ٢³ × ٢⁴ = ٢¹².✓ الصواب: نجمع الأسين فيكون الناتج ٢⁷
ملخص الدرس
- القوة هي ضرب الأساس في نفسه عدد مرات الأس.
- ضرب القوى ذات الأساس الواحد يعني جمع الأسس.
- أي عدد غير الصفر أسه صفر يساوي ١
- الأس السالب يعطي كسرًا: ٢⁻² = ١/٤
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
