ورقاتشرح درس حل معادلات تتضمن متغيرات في طرفيها ثاني متوسط الفصل الثاني
في معادلة المتغير في طرفيها نجمع حدود المتغير في طرف واحد بجمع الحد نفسه إلى الطرفين أو طرحه منهما، فتصير المعادلة ذات متغير في طرف واحد، ثم نحلها كما نحل معادلة ذات خطوتين.
أهداف الدرس
- يحدد المتغير في طرفي المعادلة ويجمع الحدود المتشابهة.
- ينقل حد المتغير إلى طرف واحد بالجمع أو الطرح على الطرفين.
- يحل معادلات فيها متغير في الطرفين، ومنها ما فيه أقواس.
- يتحقق من الحل بتعويضه في طرفي المعادلة.
المفهوم الأساسي
في معادلة المتغير في طرفيها نجمع حدود المتغير في طرف واحد بجمع الحد نفسه إلى الطرفين أو طرحه منهما، فتصير المعادلة ذات متغير في طرف واحد، ثم نحلها كما نحل معادلة ذات خطوتين.
شرح الدرس
يقارن محمد بين مشتركين في ناديين رياضيين: الأول يأخذ ٢٠ ريالا اشتراكًا و٥ ريالات عن كل زيارة، والثاني ٨ ريالات اشتراكًا و٨ ريالات عن كل زيارة. متى يتساوى المبلغان؟ عدد الزيارات مجهول في طرفي المعادلة، فكيف نحلها؟
فكرة الحل
ننقل حدود المتغير إلى طرف واحد، والأفضل أن نطرح الحد ذا المعامل الأصغر حتى يبقى المعامل موجبًا.
- الخطوة الأولى: نطرح حد المتغير من أحد الطرفين ومن الطرف الآخر.
- الخطوة الثانية: نعكس الجمع أو الطرح فنفصل حد المتغير.
- الخطوة الثالثة: نعكس الضرب أو نقسم على المعامل.
«ما نفعله في طرف نفعله في الطرف الآخر»
مثال ١: ٣س + ٥ = س + ١٣
- نطرح س من الطرفين: ٢س + ٥ = ١٣
- نطرح ٥ من الطرفين: ٢س = ٨
- نقسم على ٢ فيكون س = ٤
- التحقق: ٣ × ٤ + ٥ = ١٧ و ٤ + ١٣ = ١٧ فالحل صحيح.
مثال ٢: ٥س − ٤ = ٢س + ١١
- نطرح ٢س من الطرفين: ٣س − ٤ = ١١
- نجمع ٤ إلى الطرفين: ٣س = ١٥
- نقسم على ٣ فيكون س = ٥
- التحقق: ٥ × ٥ − ٤ = ٢١ و ٢ × ٥ + ١١ = ٢١ فالحل صحيح.
مثال ٣: حل سالب
٧ − ٢س = س + ١٦
- نجمع ٢س إلى الطرفين: ٧ = ٣س + ١٦
- نطرح ١٦ من الطرفين: −٩ = ٣س
- نقسم على ٣ فيكون س = −٣
- التحقق: ٧ − ٢ × (−٣) = ١٣ و −٣ + ١٦ = ١٣ فالحل صحيح.
يجوز أن يكون المتغير في الطرف الأيسر أو الأيمن، فالمهم أن نحافظ على التوازن.
مثال ٤: معادلة فيها أقواس
٢(س + ٣) = ٤س − ٢
- نوزّع أولًا: ٢س + ٦ = ٤س − ٢
- نطرح ٢س من الطرفين: ٦ = ٢س − ٢
- نجمع ٢ إلى الطرفين: ٨ = ٢س
- نقسم على ٢ فيكون س = ٤
- التحقق: ٢ × (٤ + ٣) = ١٤ و ٤ × ٤ − ٢ = ١٤ فالحل صحيح.
مثال ٥: مسألة النادي
عدد الزيارات ن، فيتساوى المبلغان عندما ٢٠ + ٥ن = ٨ + ٨ن
- نطرح ٥ن من الطرفين: ٢٠ = ٨ + ٣ن
- نطرح ٨ من الطرفين: ١٢ = ٣ن
- نقسم على ٣ فيكون ن = ٤ زيارات.
- التحقق: ٢٠ + ٥ × ٤ = ٤٠ و ٨ + ٨ × ٤ = ٤٠ فالمبلغان متساويان.
إذا فككنا الأقواس أولًا وجمعنا الحدود المتشابهة في كل طرف صارت المعادلة أسهل.
عند نقل حد المتغير نطرحه من الطرفين معًا، فلا نكتفي بالطرف الذي نريد إزالته منه.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
حل المعادلة ٦س + ٢ = ٢س + ١٨ ثم تحقق.
٤س + ٢ = ١٨ ثم ٤س = ١٦ فيكون س = ٤ والتحقق ٦ × ٤ + ٢ = ٢٦ و ٢ × ٤ + ١٨ = ٢٦ الهدف: أن يجمع الطالب حدود المتغير في طرف واحد ويتحقق.
التدريب الثاني
حل المعادلة ٤س − ٩ = ٧س + ٦ الإجابة: نطرح ٤س فيكون −٩ = ٣س + ٦ ثم −١٥ = ٣س فيكون س = −٥ والتحقق ٤ × (−٥) − ٩ = −٢٩ و ٧ × (−٥) + ٦ = −٢٩ الهدف: أن يتعامل الطالب مع حل سالب.
المسألة الثالثة
حل المعادلة ٣(س + ٢) = ٢س + ٩ الإجابة: ٣س + ٦ = ٢س + ٩ ثم س + ٦ = ٩ فيكون س = ٣ والتحقق ٣ × ٥ = ١٥ و ٢ × ٣ + ٩ = ١٥ الهدف: أن يوزّع الطالب ثم يحل.
ملاحظات مهمة
- 1نجمع حدود المتغير في طرف واحد بالطرح أو الجمع على الطرفين.
- 2نفك الأقواس بالتوزيع قبل نقل الحدود.
- 3بعد ذلك نحل المعادلة كمعادلة ذات خطوتين.
- 4نتحقق بتعويض الحل في الطرفين معًا ويجب أن يتساويا.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأفي ٣س + ٥ = س + ١٣ نطرح س من طرف واحد فقط.✓ الصواب: نطرح س من الطرفين، فيكون ٢س + ٥ = ١٣
- ✗ خطأكتابة ٣س − س = ٣ بدل ٢س.✓ الصواب: نطرح المعاملين ٣ − ١ = ٢ فيكون ٢س
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأفي ٢(س + ٣) نكتب ٢س + ٣✓ الصواب: نضرب ٢ في كل حد فيكون ٢س + ٦
ملخص الدرس
- نجمع حدود المتغير في طرف واحد بالطرح أو الجمع على الطرفين.
- ثم نعزل حد المتغير ونقسم على معامله.
- نفك الأقواس بالتوزيع أولًا إن وُجدت.
- نتحقق بتعويض الحل في الطرفين.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
