ورقاتشرح درس الدوال ثاني متوسط الفصل الثاني
الدالة علاقة تُقرن كل قيمة مدخلة (من المجال) بقيمة مخرجة واحدة فقط (من المدى). مجموعة المدخلات هي المجال ومجموعة المخرجات هي المدى.
أهداف الدرس
- يحدد المجال والمدى لعلاقة معطاة بأزواج مرتبة أو جدول.
- يميّز العلاقة التي تمثل دالة من التي لا تمثلها.
- يكتب الدالة بقاعدة ويحسب قيمة المخرجات من المدخلات.
- ينشئ جدول قيم لدالة.
المفهوم الأساسي
الدالة علاقة تُقرن كل قيمة مدخلة (من المجال) بقيمة مخرجة واحدة فقط (من المدى). مجموعة المدخلات هي المجال ومجموعة المخرجات هي المدى.
شرح الدرس
في محل لبيع التمر يكون ثمن كل كيلوجرام ٦ ريالات. إذا اشترت نورة ١ كجم دفعت ٦ ريالات، وإذا اشترت ٢ كجم دفعت ١٢ ريالا. لكل كمية ثمن واحد فقط، وهذه العلاقة تسمى دالة.
العلاقة والأزواج المرتبة
العلاقة مجموعة أزواج مرتبة (س ، ص) تربط المدخلة س بالمخرجة ص
- المجال: كل قيم س الممكنة، أي الإحداثيات الأولى.
- المدى: كل قيم ص الناتجة، أي الإحداثيات الثانية.
«الدالة: لكل مدخلة مخرجة واحدة فقط»
مثال ١: دالة
العلاقة (١ ، ٢) و (٢ ، ٤) و (٣ ، ٦) و (٤ ، ٨)
- المجال: ١ و ٢ و ٣ و ٤
- المدى: ٢ و ٤ و ٦ و ٨
- لكل قيمة س قيمة ص واحدة، فالعلاقة دالة.
مثال ٢: ليست دالة
العلاقة (١ ، ٢) و (١ ، ٥) و (٢ ، ٣)
- القيمة ١ في المجال ارتبطت بالمخرجتين ٢ و ٥ فالعلاقة ليست دالة.
يجوز أن تتكرر المخرجة لمدخلتين مختلفتين، لكن لا يجوز أن تتكرر المدخلة بمخرجتين مختلفتين.
مثال: (٥ ، ٣) و (٦ ، ٣) و (٧ ، ٣) هي دالة لأن كل مدخلة لها مخرجة واحدة.
قاعدة الدالة وجدول القيم
تعطى الدالة غالبًا بقاعدة، مثل ص = ٣س − ١ ونعوّض قيم س لنحصل على ص
- س = ١ ← ص = ٣ × ١ − ١ = ٢
- س = ٢ ← ص = ٣ × ٢ − ١ = ٥
- س = ٣ ← ص = ٣ × ٣ − ١ = ٨
- س = ٤ ← ص = ٣ × ٤ − ١ = ١١
الأزواج الناتجة (١ ، ٢) و (٢ ، ٥) و (٣ ، ٨) و (٤ ، ١١) وهي تكوّن دالة لأن كل س تعطي ص واحدة.
إيجاد المدخلة من المخرجة
في ص = ٣س − ١ إذا كانت ص = ١١ فإننا نحل المعادلة ٣س − ١ = ١١ فيكون ٣س = ١٢ و س = ٤
مثال من الحياة
ثمن س كجم من التمر هو ص = ٦س ريالا. فإذا اشترت نورة ٥ كجم دفعت ٦ × ٥ = ٣٠ ريالا، وإذا دفعت ٤٢ ريالا فكمية التمر س من المعادلة ٦س = ٤٢ فيكون س = ٧ كجم.
المتغير س يسمى المتغير المستقل لأننا نختار قيمته، والمتغير ص يسمى المتغير التابع لأن قيمته تعتمد على س
في الدالة لا يعني تكرار قيمة ص أن العلاقة ليست دالة، فالمهم ألا تتكرر قيمة س بمخرجات مختلفة.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
حدد المجال والمدى للعلاقة (٢ ، ٥) و (٣ ، ٧) و (٤ ، ٩) وهل هي دالة؟
المجال ٢ و ٣ و ٤ والمدى ٥ و ٧ و ٩ وهي دالة لأن كل مدخلة لها مخرجة واحدة الهدف: أن يحدد الطالب المجال والمدى ويحكم على الدالة.
التدريب الثاني
أكمل جدول الدالة ص = ٢س + ١ عند س = ٠ و ١ و ٢ و ٣ الإجابة: ١ و ٣ و ٥ و ٧ الهدف: أن ينشئ الطالب جدول قيم.
المسألة الثالثة
هل العلاقة (١ ، ٤) و (٢ ، ٤) و (٣ ، ٥) و (١ ، ٦) دالة؟
لا لأن المدخلة ١ ارتبطت بالمخرجتين ٤ و ٦ الهدف: أن يكتشف الطالب العلاقة التي ليست دالة.
ملاحظات مهمة
- 1المجال هو المدخلات، والمدى هو المخرجات.
- 2العلاقة دالة إذا كان لكل مدخلة مخرجة واحدة فقط.
- 3تُعطى الدالة بجدول أو أزواج مرتبة أو قاعدة.
- 4نجد المخرجات بالتعويض عن المدخلات في القاعدة.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأاعتبار (٥ ، ٣) و (٦ ، ٣) ليست دالة لأن ٣ تكررت.✓ الصواب: تكرار المخرجة مسموح، فهي دالة.
- ✗ خطأالحكم على (١ ، ٢) و (١ ، ٥) بأنها دالة.✓ الصواب: المدخلة ١ ارتبطت بمخرجتين فهي ليست دالة.
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأخلط المجال بالمدى.✓ الصواب: المجال للإحداثي الأول (س) والمدى للإحداثي الثاني (ص).
ملخص الدرس
- الدالة تقرن كل مدخلة بمخرجة واحدة.
- المجال: قيم س، والمدى: قيم ص
- نكوّن جدول القيم بالتعويض في القاعدة.
- لا تكون العلاقة دالة إذا ارتبطت مدخلة بمخرجتين.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
