ورقاتشرح درس التغير الطردي ثاني متوسط الفصل الثاني
يكون المتغيران في تغير طردي إذا كان ناتج قسمة ص على س ثابتًا، فنكتب ص = أ س، والعدد أ هو ثابت التغير، وتمثيله مستقيم يمر بنقطة الأصل (٠ ، ٠) وميله أ
أهداف الدرس
- يتعرف التغير الطردي ويكتبه بالصيغة ص = أ س.
- يجد ثابت التغير من جدول أو من زوج مرتب.
- يحل مسائل يكون فيها المتغيران في تغير طردي.
- يربط ثابت التغير بميل المستقيم المار بنقطة الأصل.
المفهوم الأساسي
يكون المتغيران في تغير طردي إذا كان ناتج قسمة ص على س ثابتًا، فنكتب ص = أ س، والعدد أ هو ثابت التغير، وتمثيله مستقيم يمر بنقطة الأصل (٠ ، ٠) وميله أ
شرح الدرس
يبيع محل التمر بسعر ١٢ ريالا للكيلوجرام. إذا اشترى خالد ٢ كجم دفع ٢٤ ريالا، وإذا اشترى ٣ كجم دفع ٣٦ ريالا، فيتضاعف الثمن كلما تضاعفت الكمية. هذا هو التغير الطردي.
معنى التغير الطردي
نقول إن ص تتغير طرديًا مع س إذا كان:
«ص = أ س حيث أ عدد ثابت لا يساوي صفرًا»
العدد أ يسمى ثابت التغير، ونجده من القسمة: أ = ص ÷ س
في مثال التمر: ص هو الثمن وس هو عدد الكيلوجرامات والثابت ١٢ فنكتب ص = ١٢س
إيجاد ثابت التغير من جدول
نأخذ هذا الجدول للقيم:
- س = ١ و ص = ٣ ثابت التغير ٣ ÷ ١ = ٣
- س = ٢ و ص = ٦ ثابت التغير ٦ ÷ ٢ = ٣
- س = ٣ و ص = ٩ ثابت التغير ٩ ÷ ٣ = ٣
النسبة ص ÷ س واحدة في كل الأزواج، فالعلاقة تغير طردي ومعادلتها ص = ٣س
أما القيم س = ١ و ص = ٣ وكذلك س = ٢ و ص = ٥ فنجد ٣ ÷ ١ = ٣ و ٥ ÷ ٢ = ٢٫٥ ولا يتساوى الناتجان، فالعلاقة ليست تغيرًا طرديًا.
في التغير الطردي تكون النسبة ص ÷ س نفسها في كل الأزواج، فإن اختلفت في زوج واحد فليس طرديًا.
التمثيل البياني
تمثيل ص = ٣س مستقيم يمر بالنقطة (٠ ، ٠) ويمر بالنقطتين أ (١ ، ٣) وب (٢ ، ٦)
ميل المستقيم = (٦ − ٣) ÷ (٢ − ١) = ٣ وهو ثابت التغير نفسه.
«في ص = أ س: ثابت التغير هو ميل المستقيم»
حل المسائل بثابت التغير
إذا كانت ص تتغير طرديًا مع س وكانت ص = ١٢ عندما س = ٣ فما ص عندما س = ٥؟
- نجد الثابت: أ = ١٢ ÷ ٣ = ٤
- نكتب المعادلة: ص = ٤س
- نعوّض س = ٥ فيكون ص = ٤ × ٥ = ٢٠
نجد الثابت أولًا من الزوج المعلوم ثم نعوّض القيمة الجديدة، ولا نقارن بين القيمتين دون الثابت.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
جد ثابت التغير إذا كانت ص = ١٥ عندما س = ٣ ثم اكتب المعادلة.
أ = ١٥ ÷ ٣ = ٥ والمعادلة ص = ٥س الهدف: أن يجد الطالب ثابت التغير ويكتب المعادلة.
التدريب الثاني
هل العلاقة بين س وص طردية في الأزواج (١ ، ٤) و(٢ ، ٨) و(٣ ، ١٢)؟
النسب ٤ ÷ ١ = ٤ و ٨ ÷ ٢ = ٤ و ١٢ ÷ ٣ = ٤ فهي واحدة، إذن العلاقة طردية وثابتها ٤ الهدف: أن يتحقق الطالب من التغير الطردي.
المسألة الثالثة
تقطع سيارة ٢٤٠ كم في ٣ ساعات بسرعة ثابتة، فكم تقطع في ٥ ساعات؟
أ = ٢٤٠ ÷ ٣ = ٨٠ فالمعادلة ص = ٨٠س وعند س = ٥ تكون ص = ٤٠٠ كم الهدف: أن يحل الطالب مسألة حياتية بالتغير الطردي.
ملاحظات مهمة
- 1التغير الطردي: ص = أ س وثابت التغير أ = ص ÷ س
- 2التمثيل البياني مستقيم يمر بنقطة الأصل.
- 3ثابت التغير يساوي ميل المستقيم.
- 4نجد الثابت أولًا ثم نحل المسألة.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأاعتبار الجدول س = ١ و ص = ٣ ثم س = ٢ و ص = ٥ تغيرًا طرديًا لأن ص تزيد.✓ الصواب: النسبتان ٣ و٢٫٥ مختلفتان فليست العلاقة طردية
- ✗ خطأكتابة ثابت التغير س ÷ ص.✓ الصواب: الثابت هو ص ÷ س
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأتوقع مستقيم لا يمر بنقطة الأصل في التغير الطردي.✓ الصواب: عند س = ٠ تكون ص = ٠ دائمًا فالمستقيم يمر بنقطة الأصل
ملخص الدرس
- ص تتغير طرديًا مع س إذا كانت ص = أ س.
- ثابت التغير أ = ص ÷ س
- تمثيل التغير الطردي مستقيم يمر بنقطة الأصل وميله أ
- نحل المسألة بإيجاد الثابت ثم التعويض.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
