ورقاتشرح درس استراتيجية حل المسألة: حل مسألة أبسط ثاني متوسط الفصل الثاني
استراتيجية حل مسألة أبسط تعني أن نحل المسألة أولًا بأعداد أصغر وأسهل، ثم نلاحظ النمط الذي يظهر في الحلول، ونستعمله لحل المسألة الأصلية ذات الأعداد الكبيرة.
أهداف الدرس
- يطبق خطوات حل المسألة الأربع: أفهم، أخطط، أحل، أتحقق.
- يحل مسألة أبسط بأعداد أصغر ليكتشف النمط.
- يستعمل النمط المكتشف لحل المسألة الأصلية الكبيرة.
- يتحقق من معقولية الحل.
المفهوم الأساسي
استراتيجية حل مسألة أبسط تعني أن نحل المسألة أولًا بأعداد أصغر وأسهل، ثم نلاحظ النمط الذي يظهر في الحلول، ونستعمله لحل المسألة الأصلية ذات الأعداد الكبيرة.
شرح الدرس
في اليوم الرياضي أراد ١٠ طلاب أن يتصافح كل اثنين منهم مرة واحدة. العدّ المباشر طويل ويسهل فيه الخطأ، فنجرّب أولًا مع عدد صغير من الطلاب ونبحث عن نمط.
خطوات حل المسألة
- أفهم: أقرأ المسألة وأحدد المعطيات والمطلوب.
- أخطط: أختار استراتيجية، وهنا نحل مسألة أبسط.
- أحل: أنفذ الخطة وأسجل النتائج في جدول.
- أتحقق: أراجع الحل وأتأكد أنه معقول ويجيب عن السؤال.
«نبسّط الأعداد ثم نبحث عن النمط»
مثال ١: المصافحات
المسألة: ١٠ طلاب يتصافح كل اثنين منهم مرة واحدة. كم مصافحة تحدث؟
- أفهم: عدد الطلاب ١٠ وكل طالبين يتصافحان مرة، والمطلوب عدد المصافحات.
- أخطط: أبدأ بعدد أصغر من الطلاب وأسجل عدد المصافحات.
- أحل: طالبان ← مصافحة واحدة، ثلاثة طلاب ← ٣ وأربعة طلاب ← ٦ وخمسة طلاب ← ١٠
- ألاحظ أن الفروق بين النتائج هي ٢ ثم ٣ ثم ٤ أي أن الطالب الجديد يصافح كل من سبقه.
- لعشرة طلاب نجمع ١ + ٢ + ٣ + ٤ + ٥ + ٦ + ٧ + ٨ + ٩ = ٤٥ مصافحة.
- أتحقق: كل طالب يصافح ٩ طلاب فالمجموع ١٠ × ٩ = ٩٠ وكل مصافحة عُدّت مرتين فنقسم على ٢ فتصبح ٤٥ والحل صحيح.
مثال ٢: المربعات في شبكة
المسألة: كم مربعًا في شبكة مربعات ٤ × ٤؟
- أحل مسألة أبسط: في شبكة ١ × ١ يوجد ١ مربع.
- في شبكة ٢ × ٢ يوجد ٤ مربعات صغيرة ومربع كبير واحد، أي ٥ مربعات.
- في شبكة ٣ × ٣ يوجد ٩ مربعات صغيرة و٤ مربعات ٢ × ٢ ومربع كبير واحد، أي ١٤ مربعًا.
- النمط: ١ ثم ١ + ٤ ثم ١ + ٤ + ٩ فنضيف مربع العدد التالي.
- في شبكة ٤ × ٤ نضيف ١٦ فيكون المجموع ١٤ + ١٦ = ٣٠ مربعًا.
مثال ٣: مجموع الأعداد الفردية
المسألة: ما قيمة ١ + ٣ + ٥ + ٧ + ... + ١٩؟
- ١ = ١ و١ + ٣ = ٤ و١ + ٣ + ٥ = ٩ و١ + ٣ + ٥ + ٧ = ١٦
- النمط: مجموع أول ن عدد فردي يساوي ن × ن.
- الأعداد الفردية من ١ إلى ١٩ عددها ١٠ فالمجموع ١٠ × ١٠ = ١٠٠
كتابة النتائج في جدول تساعدك على رؤية النمط بسرعة.
بعد اكتشاف النمط تحقق منه بعدد صغير آخر قبل أن تعتمد عليه.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
٨ لاعبين يلعب كل اثنين منهم مباراة واحدة. كم مباراة تُلعب؟
١ + ٢ + ٣ + ٤ + ٥ + ٦ + ٧ = ٢٨ مباراة الهدف: أن يطبّق الطالب نمط المصافحات على موقف جديد.
التدريب الثاني
ما قيمة ١ + ٢ + ٣ + ... + ٢٠؟
نجمع الأول مع الأخير ٢١ ونكرره عشر مرات فالناتج ٢١٠ الهدف: أن يكتشف الطالب نمط التزويج بتجربة أعداد أصغر.
المسألة الثالثة
كم مربعًا في شبكة ٥ × ٥؟
١ + ٤ + ٩ + ١٦ + ٢٥ = ٥٥ مربعًا الهدف: أن يوسّع الطالب النمط إلى حالة أكبر.
ملاحظات مهمة
- 1نبدأ دائمًا بأن نفهم المسألة جيدًا.
- 2الأعداد الصغيرة تكشف النمط بسهولة.
- 3نسجل النتائج في جدول لنرى النمط.
- 4نتحقق من الحل بطريقة ثانية أو بالتقدير.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأعدّ مصافحات ١٠ طلاب على أنها ١٠ × ١٠ = ١٠٠✓ الصواب: الطالب لا يصافح نفسه وكل مصافحة تُعدّ مرة واحدة، فنقسم ١٠ × ٩ على ٢ فتصبح ٤٥
- ✗ خطأعدّ المربعات الصغيرة فقط في الشبكة.✓ الصواب: نعدّ المربعات من كل الأحجام ١ × ١ و٢ × ٢ وغيرها
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأتعميم النمط من حالة واحدة فقط.✓ الصواب: نختبر النمط على عدة حالات صغيرة قبل استعماله
ملخص الدرس
- خطوات الحل: أفهم، أخطط، أحل، أتحقق.
- حل مسألة أبسط يعني استعمال أعداد أصغر.
- نسجل النتائج في جدول ونبحث عن النمط.
- نستعمل النمط في المسألة الأصلية.
- نتحقق من الحل بعد الوصول إليه.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
