ورقاتشرح درس الأشكال الثلاثية الأبعاد ثاني متوسط الفصل الثاني
المجسم شكل ثلاثي الأبعاد له طول وعرض وارتفاع، وتصفه عناصر: الأوجه والأحرف والرؤوس. ومن أنواعه المنشور والهرم، ومنها ما له سطح منحنٍ كالأسطوانة والمخروط والكرة.
أهداف الدرس
- يتعرف المنشور والهرم والأسطوانة والمخروط والكرة ويسميها.
- يعدّ الأوجه والأحرف والرؤوس للمجسمات.
- يستنتج عدد الأوجه والأحرف والرؤوس للمنشور والهرم من عدد أضلاع القاعدة.
- يحدد شكل المقطع الناتج عن قطع مجسم بمستوى.
المفهوم الأساسي
المجسم شكل ثلاثي الأبعاد له طول وعرض وارتفاع، وتصفه عناصر: الأوجه والأحرف والرؤوس. ومن أنواعه المنشور والهرم، ومنها ما له سطح منحنٍ كالأسطوانة والمخروط والكرة.
شرح الدرس
علبة الحليب وكرة القدم وخيمة الكشافة كلها أشكال ثلاثية الأبعاد، لكل منها شكل مختلف. سنتعلم كيف نسميها ونصف عناصرها.
عناصر المجسم
- الوجه: سطح مستوٍ من أسطح المجسم
- الحرف: القطعة المستقيمة التي يلتقي عندها وجهان
- الرأس: النقطة التي تلتقي عندها عدة أحرف
- القاعدة: الوجه الذي يُوضع عليه المجسم أو الوجهان المتطابقان المتوازيان في المنشور
المنشور
للمنشور قاعدتان متطابقتان متوازيتان وأوجه جانبية كلها مستطيلات. ويُسمّى باسم قاعدته: منشور ثلاثي وخماسي ومستطيل وهكذا.
- المنشور الثلاثي: ٥ أوجه و٩ أحرف و٦ رؤوس
- المكعب: ٦ أوجه و١٢ حرفًا و٨ رؤوس
- المنشور الخماسي: ٧ أوجه و١٥ حرفًا و١٠ رؤوس
الهرم
للهرم قاعدة واحدة، وأوجهه الجانبية مثلثات تلتقي في رأس واحد. ويُسمّى باسم قاعدته.
- الهرم الثلاثي: ٤ أوجه و٦ أحرف و٤ رؤوس
- الهرم الرباعي: ٥ أوجه و٨ أحرف و٥ رؤوس
المجسمات المنحنية
- الأسطوانة: قاعدتان دائريتان متطابقتان وسطح جانبي منحنٍ، بلا رؤوس
- المخروط: قاعدة دائرية واحدة ورأس واحد وسطح جانبي منحنٍ
- الكرة: سطح منحنٍ كله، بلا أوجه ولا أحرف ولا رؤوس
استنتاج عدد العناصر
إذا كانت قاعدة المنشور أو الهرم فيها ن ضلعًا:
- المنشور: عدد الأوجه ن + ٢ وعدد الأحرف ٣ × ن وعدد الرؤوس ٢ × ن
- الهرم: عدد الأوجه ن + ١ وعدد الأحرف ٢ × ن وعدد الرؤوس ن + ١
«الأوجه + الرؤوس = الأحرف + ٢»
نتحقق بالمكعب: ٦ + ٨ = ١٤ و١٢ + ٢ = ١٤
المقاطع
المقطع هو الشكل الناتج عن قطع المجسم بمستوٍ.
- قطع مكعب بمستوٍ يوازي قاعدته يعطي مربعًا
- قطع أسطوانة بمستوٍ يوازي قاعدتها يعطي دائرة، وبمستوٍ رأسي يمر بمحورها يعطي مستطيلًا
- قطع مخروط بمستوٍ يوازي قاعدته يعطي دائرة، وبمستوٍ رأسي يمر برأسه يعطي مثلثًا
- قطع كرة بأي مستوٍ يعطي دائرة
الأسطوانة والمخروط والكرة ليست منشورات ولا أهرامات لأن لها أسطحًا منحنية.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
ما عدد الأوجه والأحرف والرؤوس في المنشور السداسي؟
ن = ٦ فالأوجه ٦ + ٢ = ٨ والأحرف ٣ × ٦ = ١٨ والرؤوس ٢ × ٦ = ١٢ الهدف: أن يستعمل الطالب القاعدة لعدّ العناصر.
التدريب الثاني
هرم قاعدته خماسية. كم وجهًا وحرفًا ورأسًا له؟
الأوجه ٥ + ١ = ٦ والأحرف ٢ × ٥ = ١٠ والرؤوس ٥ + ١ = ٦ الهدف: أن يطبق الطالب قاعدة الهرم.
المسألة الثالثة
ما شكل المقطع إذا قُطع مخروط بمستوٍ رأسي يمر برأسه؟ ولماذا لا يعطي دائرة؟
يعطي مثلثًا، لأن المستوى يمر بالرأس وبقطر القاعدة، والدائرة تنتج عن مستوٍ يوازي القاعدة الهدف: أن يحدد الطالب المقطع ويبرره.
ملاحظات مهمة
- 1الوجه سطح مستوٍ والحرف قطعة مستقيمة والرأس نقطة.
- 2المنشور له قاعدتان والهرم له قاعدة واحدة.
- 3الأسطوانة والمخروط والكرة لها أسطح منحنية.
- 4المقطع يتغير شكله بحسب اتجاه المستوى القاطع.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأعدّ الأوجه الجانبية فقط في المنشور.✓ الصواب: نعدّ القاعدتين أيضًا فتكون الأوجه ن + ٢
- ✗ خطأاعتبار الأسطوانة منشورًا.✓ الصواب: قاعدتا الأسطوانة دائرتان ولها سطح جانبي منحنٍ، أما المنشور فأوجهه مستوية كلها
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأالقول إن للمخروط وجهين.✓ الصواب: للمخروط قاعدة دائرية واحدة وسطح جانبي منحنٍ وليس له أحرف
ملخص الدرس
- عناصر المجسم: الأوجه والأحرف والرؤوس.
- المنشور: قاعدتان متطابقتان وأوجه جانبية مستطيلة.
- الهرم: قاعدة واحدة وأوجه جانبية مثلثة.
- الأسطوانة والمخروط والكرة أسطحها منحنية.
- المقطع هو الشكل الناتج عن قطع المجسم بمستوٍ.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
