ورقاتشرح درس مساحة سطح المنشور والأسطوانة ثاني متوسط الفصل الثاني
مساحة السطح الكلية للمجسم هي مجموع مساحات كل أسطحه. ومساحة سطح المنشور الكلية = المساحة الجانبية + مساحتا القاعدتين، ومساحة سطح الأسطوانة = ٢ × ط × نق × ع + ٢ × ط × نق × نق.
أهداف الدرس
- يميز بين مساحة السطح الجانبية ومساحة السطح الكلية للمنشور والأسطوانة.
- يحسب مساحة سطح المنشور = المساحة الجانبية + مساحتا القاعدتين.
- يحسب مساحة سطح الأسطوانة = ٢ × ط × نق × ع + ٢ × ط × نق × نق.
- يحل مسائل حياتية على الطلاء والتغليف.
المفهوم الأساسي
مساحة السطح الكلية للمجسم هي مجموع مساحات كل أسطحه. ومساحة سطح المنشور الكلية = المساحة الجانبية + مساحتا القاعدتين، ومساحة سطح الأسطوانة = ٢ × ط × نق × ع + ٢ × ط × نق × نق.
شرح الدرس
لتغليف هدية بالورق أو طلاء صندوق أو صنع لفافة لعلبة، علينا أن نعرف مساحة سطح المجسم كله. نتخيل المجسم مفتوحًا على سطح مستوٍ، فنرى أسطحه كلها أشكالًا مألوفة.
مساحة سطح المنشور
- المساحة الجانبية: مجموع مساحات الأوجه الجانبية، وتساوي محيط القاعدة × ارتفاع المنشور
- مساحتا القاعدتين: ٢ × مساحة القاعدة الواحدة
«مساحة السطح الكلية = المساحة الجانبية + مساحتا القاعدتين»
مثال ١: متوازي مستطيلات
أبعاده ٥ سم و٤ سم و٣ سم، فيه ٣ أزواج من الأوجه المتطابقة.
- الوجهان ٥ × ٤ = ٢٠ فمساحتهما ٢ × ٢٠ = ٤٠
- الوجهان ٥ × ٣ = ١٥ فمساحتهما ٢ × ١٥ = ٣٠
- الوجهان ٤ × ٣ = ١٢ فمساحتهما ٢ × ١٢ = ٢٤
- المساحة الكلية = ٤٠ + ٣٠ + ٢٤ = ٩٤ سم²
مثال ٢: منشور ثلاثي
قاعدته مثلث قائم أضلاعه ٣ سم و٤ سم و٥ سم، وارتفاع المنشور ١٠ سم.
- مساحة القاعدة = ١٢ × ٣ × ٤ = ٦ سم² فمساحتا القاعدتين ٢ × ٦ = ١٢ سم²
- محيط القاعدة = ٣ + ٤ + ٥ = ١٢ سم
- المساحة الجانبية = ١٢ × ١٠ = ١٢٠ سم²
- المساحة الكلية = ١٢٠ + ١٢ = ١٣٢ سم²
مثال ٣: صندوق مفتوح من أعلى
صندوق أبعاده ٤ سم و٣ سم و٢ سم بلا غطاء.
- القاعدة = ٤ × ٣ = ١٢ سم²
- الأوجه الجانبية = ٢ × (٤ × ٢) + ٢ × (٣ × ٢) = ١٦ + ١٢ = ٢٨ سم²
- المساحة = ١٢ + ٢٨ = ٤٠ سم²
مساحة سطح الأسطوانة
عند فتح الأسطوانة نحصل على مستطيل وعلى دائرتين. عرض المستطيل يساوي محيط الدائرة ٢ × ط × نق، وطوله الارتفاع ع.
- المساحة الجانبية = ٢ × ط × نق × ع
- مساحتا القاعدتين = ٢ × ط × نق × نق
«مساحة سطح الأسطوانة = ٢ × ط × نق × ع + ٢ × ط × نق × نق»
مثال ٤: أسطوانة
نق = ٣ سم وع = ١٠ سم.
- المساحة الجانبية = ٢ × ٣٫١٤ × ٣ × ١٠ = ١٨٨٫٤ سم²
- مساحتا القاعدتين = ٢ × ٣٫١٤ × ٣ × ٣ = ٥٦٫٥٢ سم²
- المساحة الكلية = ١٨٨٫٤ + ٥٦٫٥٢ = ٢٤٤٫٩٢ سم²
مساحة السطح تُقاس بوحدات مربعة، والحجم بوحدات مكعبة.
إذا كان المجسم بلا غطاء فلا نحسب مساحة الغطاء، وإذا لُفّ الورق حول الأسطوانة فقط حسبنا المساحة الجانبية.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
ما مساحة سطح مكعب طول حرفه ٣ سم؟
له ٦ أوجه مساحة كل منها ٩ فالمساحة ٦ × ٩ = ٥٤ سم² الهدف: أن يحسب الطالب مساحة سطح المكعب.
التدريب الثاني
منشور قاعدته مثلث مساحته ٢٤ سم² ومحيطه ٢٤ سم، وارتفاعه ١٢ سم. ما مساحة سطحه؟
الجانبية ٢٤ × ١٢ = ٢٨٨ والقاعدتان ٢ × ٢٤ = ٤٨ فالمساحة ٣٣٦ سم² الهدف: أن يجمع الطالب المساحة الجانبية ومساحتي القاعدتين.
المسألة الثالثة
أسطوانة نق = ٥ سم وارتفاعها ٨ سم. ما مساحة سطحها الكلية؟
الجانبية ٢ × ٣٫١٤ × ٥ × ٨ = ٢٥١٫٢ والقاعدتان ٢ × ٣٫١٤ × ٢٥ = ١٥٧ فالمساحة ٤٠٨٫٢ سم² الهدف: أن يطبق الطالب قانون مساحة سطح الأسطوانة.
ملاحظات مهمة
- 1مساحة السطح الكلية = المساحة الجانبية + مساحتا القاعدتين.
- 2المساحة الجانبية للمنشور = محيط القاعدة × الارتفاع.
- 3عرض مستطيل الأسطوانة المفتوحة = محيط القاعدة الدائرية.
- 4نحسب الأسطح الموجودة فقط عند الطلاء أو التغليف.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأنسيان إحدى القاعدتين.✓ الصواب: للمنشور والأسطوانة قاعدتان فنضرب مساحة القاعدة في ٢
- ✗ خطأاستعمال مساحة القاعدة بدل المحيط في المساحة الجانبية.✓ الصواب: المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأكتابة مساحة السطح بوحدة مكعبة.✓ الصواب: مساحة السطح تُكتب بوحدة مربعة مثل سم²
ملخص الدرس
- مساحة السطح الكلية هي مجموع مساحات الأسطح كلها.
- المنشور: جانبية (محيط القاعدة × الارتفاع) + مساحتا القاعدتين.
- الأسطوانة: ٢ × ط × نق × ع + ٢ × ط × نق × نق.
- نفتح المجسم في الذهن لنرى أسطحه.
- نكتب المساحة بوحدات مربعة.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
