ورقاتشرح درس عد النواتج ثاني متوسط الفصل الثاني
ناتج التجربة هو أحد الحالات الممكنة لها، وفضاء العينة هو مجموعة كل النواتج. إذا كان لدينا حدثان وعدد نواتج الأول م وعدد نواتج الثاني ن فإن عدد النواتج الكلي للحدثين معًا يساوي م × ن، وهذا هو مبدأ…
أهداف الدرس
- يستعمل الرسم الشجري لتعداد النواتج الممكنة لتجربة من مرحلتين.
- يطبّق مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج دون رسمها كلها.
- يكتب فضاء العينة لتجربة بسيطة بصورة منظمة.
- يحل مسائل حياتية على الاختيار من عدة مجموعات.
المفهوم الأساسي
ناتج التجربة هو أحد الحالات الممكنة لها، وفضاء العينة هو مجموعة كل النواتج. إذا كان لدينا حدثان وعدد نواتج الأول م وعدد نواتج الثاني ن فإن عدد النواتج الكلي للحدثين معًا يساوي م × ن، وهذا هو مبدأ العد الأساسي.
شرح الدرس
أمام خالد في المتجر قميصان: أبيض وأزرق، وثلاثة بناطيل: أسود ورمادي وبني. كم زيًّا مختلفًا يستطيع أن يكوّنه؟ لا نحتاج إلى تجربة كل زيّ، فعندنا طريقتان منظمتان للعدّ.
الناتج وفضاء العينة
- التجربة: عمل نعرف ما قد ينتج عنه، مثل رمي مكعب أرقام أو اختيار قميص.
- الناتج: نتيجة واحدة ممكنة، مثل ظهور العدد ٤ على المكعب.
- فضاء العينة: قائمة بكل النواتج الممكنة، وفضاء رمي مكعب الأرقام هو ١ و ٢ و ٣ و ٤ و ٥ و ٦ معًا.
الرسم الشجري
نرسم لكل ناتج في المرحلة الأولى فرعًا، ثم نخرج من نهاية كل فرع فروعًا بعدد نواتج المرحلة الثانية. كل مسار من البداية إلى نهاية فرع هو ناتج واحد.
من القميص الأبيض ثلاثة فروع، ومن القميص الأزرق ثلاثة فروع أيضًا، فيكون عدد المسارات ٣ + ٣ = ٦ أزياء مختلفة.
مبدأ العد الأساسي
بدل رسم الشجرة كلها نضرب عدد النواتج في كل مرحلة.
«عدد النواتج الكلي = عدد نواتج المرحلة الأولى × عدد نواتج المرحلة الثانية»
في مثال خالد: ٢ × ٣ = ٦ أزياء، وهو الجواب نفسه الذي وجدناه بالشجرة نفسها.
المبدأ يصلح لأكثر من مرحلتين. مثال: رمي قطعة نقد ثم رمي مكعب أرقام. للقطعة ناتجان (صورة أو كتابة) وللمكعب ستة نواتج، فعدد النواتج الكلي ٢ × ٦ = ١٢ ناتجًا.
ثلاث مراحل
تريد سارة أن تكوّن وجبة من ٤ أنواع من الساندويتش و ٣ أنواع من العصير و ٢ من أنواع الحلوى. عدد الوجبات الممكنة هو ٤ × ٣ × ٢ = ٢٤ وجبة.
نضرب عدد الخيارات في كل مرحلة، ولا نجمعها.
إذا كان الاختيار في المرحلة الثانية يتغير بحسب الأولى (مثل عدم تكرار العنصر نفسه) فعدّ الخيارات المتبقية في كل مرحلة ثم اضرب.
مثال على ذلك: يريد فهد ترتيب ٣ كتب مختلفة على رف. في المكان الأول ٣ خيارات، وفي الثاني ٢ بعد اختيار الأول، وفي الثالث خيار واحد، فعدد الترتيبات ٣ × ٢ × ١ = ٦ ترتيبات.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
تحتوي حقيبة ريم على قلمين (أحمر وأزرق) و ٣ دفاتر (صغير ومتوسط وكبير). ارسم شجرة لاختيار قلم ودفتر.
٦ نواتج.
أن يرسم الطالب شجرة من مرحلتين.
التدريب الثاني
يتكون رمز سري من حرف واحد من الحروف أ و ب و جـ و د، ثم رقم واحد من الأرقام ١ حتى ٥ فقط. كم رمزًا ممكنًا؟
٤ × ٥ = ٢٠ رمزًا.
أن يطبّق الطالب مبدأ العد الأساسي.
المسألة الثالثة
في مطعم ٥ أنواع من الأطباق الرئيسة و ٤ من السلطات و ٣ من المشروبات. كم وجبة مختلفة تتكون من واحد من كل نوع؟
٥ × ٤ × ٣ = ٦٠ وجبة.
أن يوسّع الطالب المبدأ إلى ثلاث مراحل.
ملاحظات مهمة
- 1فضاء العينة هو قائمة بكل النواتج الممكنة للتجربة.
- 2كل مسار في الرسم الشجري يمثل ناتجًا واحدًا.
- 3عدد النواتج في المراحل المستقلة يساوي حاصل ضرب عدد نواتج كل مرحلة.
- 4الرسم الشجري مفيد حين تكون النواتج قليلة، والضرب أسرع حين تكثر.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأجمع عدد الخيارات بدل ضربها، فيجد ٢ + ٣ = ٥ أزياء.✓ الصواب: لكل قميص ثلاثة بناطيل، فنضرب ٢ × ٣ = ٦ أزياء.
- ✗ خطأنسيان بعض المسارات عند كتابة فضاء العينة.✓ الصواب: أكتب النواتج بترتيب ثابت، أبدأ بالخيار الأول وأجرّب معه كل خيارات المرحلة التالية.
ملخص الدرس
- فضاء العينة هو مجموعة كل النواتج الممكنة.
- الرسم الشجري يعرض كل النواتج، وكل مسار ناتج.
- مبدأ العد الأساسي: نضرب عدد نواتج المراحل.
- نستعمل الضرب مع المراحل الكثيرة بدل الرسم.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
