ورقاتشرح درس احتمال الحوادث المركبة ثاني متوسط الفصل الثاني
الحادثة المركبة تتكون من حادثتين بسيطتين أو أكثر. إذا لم تؤثر نتيجة الحادثة الأولى في الثانية فهما مستقلتان وح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب). وإذا غيّرت الأولى احتمال الثانية فهما غير مستقلتين.
أهداف الدرس
- يميّز بين الحادثين المستقلين وغير المستقلين.
- يحسب احتمال حادثين مستقلين بضرب احتمالي كل منهما.
- يحسب احتمال حادثين غير مستقلين (السحب بلا إرجاع).
- يحل مسائل على الحوادث المركبة بالعملة والمكعب والكرات الملونة.
المفهوم الأساسي
الحادثة المركبة تتكون من حادثتين بسيطتين أو أكثر. إذا لم تؤثر نتيجة الحادثة الأولى في الثانية فهما مستقلتان وح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب). وإذا غيّرت الأولى احتمال الثانية فهما غير مستقلتين.
شرح الدرس
ترمي سارة قطعة نقد ثم تدير قرصًا مقسمًا إلى أربعة أجزاء متساوية. هل ظهور صورة على القطعة يغيّر فرصة وقوف المؤشر على جزء معين؟ كلا، والحادثتان مستقلتان.
الحوادث المستقلة
- المستقلة: نتيجة الأولى لا تغيّر احتمال الثانية، مثل رمي مكعب أرقام ثم رمي قطعة نقد.
- الاحتمال: ح(أ) = عدد النواتج المرغوبة ÷ عدد النواتج الممكنة.
«ح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب)»
مثال: نرمي قطعة نقد ثم مكعب أرقام. ح(صورة) = ١٢ وح(العدد ٦) = ١٦ فاحتمال صورة ثم العدد ٦ يساوي ١٢ × ١٦ = ١١٢
مثال آخر: كيس فيه ٤ كرات حمراء و ٦ كرات زرقاء. نسحب كرة ونسجل لونها ثم نعيدها ونسحب ثانية. ح(حمراء) = ٤١٠ وح(زرقاء) = ٦١٠ فاحتمال حمراء ثم زرقاء يساوي ٤١٠ × ٦١٠ = ٢٤١٠٠ وهو ٦٢٥ بعد التبسيط.
عند الإرجاع يعود الكيس إلى حاله الأولى، فتبقى الحادثتان مستقلتين.
الحوادث غير المستقلة
نسحب من الكيس نفسه دون إرجاع، فيتغير عدد الكرات ويتغير الاحتمال.
- غير المستقلة: نتيجة الأولى تغيّر عدد النواتج أو المرغوبة في الثانية.
مثال: كيس فيه ٣ كرات حمراء و ٢ زرقاء. نسحب كرتين دون إرجاع. ح(حمراء أولى) = ٣٥ ثم بعد سحبها يبقى في الكيس ٤ كرات منها ٢ حمراء، فتكون ح(حمراء ثانية بعد الأولى) = ٢٤ ومن ثم ح(حمراء ثم حمراء) = ٣٥ × ٢٤ = ٦٢٠ وهو ٣١٠ بعد التبسيط.
في الحادثة غير المستقلة نحسب احتمال الثانية بعد أن نغيّر الكيس بحسب نتيجة الأولى.
كيف أميّز؟
أسأل: هل تغيّر الأولى ما يبقى للثانية؟ إذا كان الجواب نعم فهي غير مستقلة.
- رمي مكعبين: مستقلة.
- سحب كرتين بلا إرجاع: غير مستقلة.
- السحب مع الإرجاع: مستقلة.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
ترمي ريم قطعة نقد مرتين. ما احتمال ظهور صورة في المرتين؟
١٢ × ١٢ = ١٤ احتمالًا.
أن يطبّق الطالب قاعدة المستقلة.
التدريب الثاني
في كيس ٥ كرات حمراء و ٣ خضراء. تُسحب كرتان دون إرجاع. ما احتمال أن تكونا خضراوين؟
٣٨ × ٢٧ = ٦٥٦ وهو ٣٢٨ بعد التبسيط.
أن يحسب الطالب احتمال حادثتين غير مستقلتين.
المسألة الثالثة
يدير محمد قرصًا فيه ٥ أجزاء متساوية منها ٢ مظللان، ثم يرمي مكعب أرقام. ما احتمال أن يقف المؤشر على جزء مظلل ويظهر عدد زوجي؟
٢٥ × ٣٦ = ٦٣٠ وهو ١٥ بعد التبسيط.
أن يطبّق الطالب القاعدة على تجربتين مختلفتين.
ملاحظات مهمة
- 1الحادثة المركبة هي حادثتان أو أكثر معًا.
- 2في المستقلة نضرب احتمالي الحادثتين.
- 3في غير المستقلة نغيّر عدد الكرات قبل حساب احتمال الثانية.
- 4الاحتمال عدد من ٠ إلى ١ وكتابته ككسر أو عدد عشري.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأجمع الاحتمالين بدل ضربهما، فيجد ١/٢ + ١/٦ لاحتمال صورة وعدد ٦ معًا.✓ الصواب: كلتا الحادثتين معًا تعني الضرب.
- ✗ خطأاستعمال المقام نفسه في السحب الثاني بلا إرجاع.✓ الصواب: أنقص عدد الكرات بواحدة، فيصبح المقام ٤ بدل ٥ في مثالنا.
ملخص الدرس
- المستقلة: ح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب).
- غير المستقلة: الثانية تُحسب بعد تغيّر الكيس.
- السحب مع الإرجاع مستقل، وبلا إرجاع غير مستقل.
- أبسّط الناتج النهائي ما أمكن.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
