ورقاتشرح درس مساحة سطح الهرم ثاني متوسط الفصل الثاني
الهرم المنتظم قاعدته مضلع منتظم وأوجهه الجانبية مثلثات متطابقة. ومساحة سطحه الكلية = مساحة القاعدة + ١ ٢ × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.
أهداف الدرس
- يتعرف الهرم المنتظم والارتفاع الجانبي (ل) ويميزه عن ارتفاع الهرم (ع).
- يحسب المساحة الجانبية للهرم المنتظم = ١/٢ × محيط القاعدة × ل.
- يحسب مساحة سطح الهرم الكلية = مساحة القاعدة + المساحة الجانبية.
- يستعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع الجانبي من ارتفاع الهرم.
المفهوم الأساسي
الهرم المنتظم قاعدته مضلع منتظم وأوجهه الجانبية مثلثات متطابقة. ومساحة سطحه الكلية = مساحة القاعدة + ١٢ × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.
شرح الدرس
أراد فهد طلاء سقف هرمي لمظلة حديقة، فاحتاج إلى معرفة مساحة أوجهها المثلثة كلها. ولحسابها نحتاج إلى طول ارتفاع كل مثلث، وهو ما نسميه الارتفاع الجانبي.
الارتفاع الجانبي والارتفاع
- الارتفاع (ع): البعد العمودي من الرأس إلى مركز القاعدة، ونستعمله في الحجم
- الارتفاع الجانبي (ل): ارتفاع الوجه الجانبي المثلث، وهو من الرأس إلى منتصف ضلع القاعدة، ونستعمله في المساحة
مساحة سطح الهرم المنتظم
كل وجه جانبي مثلث قاعدته ضلع القاعدة وارتفاعه ل، فمساحته ١٢ × الضلع × ل. وعدد الأوجه الجانبية يساوي عدد أضلاع القاعدة، فمجموع مساحاتها ١٢ × (مجموع الأضلاع) × ل أي ١٢ × المحيط × ل.
«مساحة السطح الكلية = مساحة القاعدة + ١٢ × محيط القاعدة × ل»
مثال ١: هرم قاعدته مربعة
ضلع القاعدة ٦ سم، والارتفاع الجانبي ل = ٥ سم.
- مساحة القاعدة = ٦ × ٦ = ٣٦ سم²
- محيط القاعدة = ٤ × ٦ = ٢٤ سم
- المساحة الجانبية = ١٢ × ٢٤ × ٥ = ٦٠ سم² (وهي ٤ مثلثات مساحة كل منها ١٥)
- المساحة الكلية = ٣٦ + ٦٠ = ٩٦ سم²
مثال ٢: هرم أكبر
ضلع القاعدة ١٠ سم ول = ١٣ سم.
- مساحة القاعدة = ١٠ × ١٠ = ١٠٠ سم²
- المساحة الجانبية = ١٢ × ٤٠ × ١٣ = ٢٦٠ سم²
- المساحة الكلية = ١٠٠ + ٢٦٠ = ٣٦٠ سم²
مثال ٣: إيجاد ل من الارتفاع
هرم قاعدته مربعة ضلعها ٨ سم وارتفاعه ع = ٣ سم. نكوّن مثلثًا قائمًا ضلعاه ع ونصف ضلع القاعدة، ووتره هو ل.
- نصف ضلع القاعدة = ٨ ÷ ٢ = ٤ سم
- ل × ل = ٣ × ٣ + ٤ × ٤ = ٩ + ١٦ = ٢٥ فإن ل = ٥ سم
- مساحة القاعدة = ٦٤ سم² والمساحة الجانبية = ١٢ × ٣٢ × ٥ = ٨٠ سم²
- المساحة الكلية = ٦٤ + ٨٠ = ١٤٤ سم²
نظرية فيثاغورس: مربع الوتر = مجموع مربعي الضلعين القائمين.
لا نستعمل ع في المساحة الجانبية ولا ل في الحجم، فلكل منهما مكانه.
مثال ٤: مظلة بلا أرضية
مظلة هرمية ضلع قاعدتها ٤ م وارتفاعها الجانبي ٣ م. القماش يغطي الأوجه الجانبية فقط، فمساحته = ١٢ × ١٦ × ٣ = ٢٤ م²
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
ما مساحة سطح هرم قاعدته مربعة ضلعها ٤ سم وارتفاعه الجانبي ٦ سم؟
القاعدة ١٦ والجانبية ١٢ × ١٦ × ٦ = ٤٨ فالكلية ٦٤ سم² الهدف: أن يطبق الطالب قانون مساحة سطح الهرم.
التدريب الثاني
هرم قاعدته مربعة ضلعها ١٢ سم وارتفاعه ٨ سم. ما مساحة سطحه؟
نصف الضلع ٦ فتكون ل = ١٠ لأن ٣٦ + ٦٤ = ١٠٠ والجانبية ١٢ × ٤٨ × ١٠ = ٢٤٠ والقاعدة ١٤٤ فالكلية ٣٨٤ سم² الهدف: أن يستعمل الطالب فيثاغورس لإيجاد ل ثم يحسب المساحة.
المسألة الثالثة
مظلة هرمية ضلع قاعدتها ٤ م وارتفاعها الجانبي ٣ م. ما مساحة القماش اللازم لأوجهها الجانبية؟
١٢ × ١٦ × ٣ = ٢٤ م² الهدف: أن يحسب الطالب المساحة الجانبية فقط في موقف حياتي.
ملاحظات مهمة
- 1الارتفاع الجانبي ل غير ارتفاع الهرم ع.
- 2المساحة الجانبية = ١/٢ × المحيط × ل.
- 3المساحة الكلية = مساحة القاعدة + المساحة الجانبية.
- 4نجد ل من فيثاغورس: ل × ل = ع × ع + (نصف الضلع) × (نصف الضلع).
أخطاء شائعة
- ✗ خطأاستعمال ارتفاع الهرم ع بدل ل في المساحة الجانبية.✓ الصواب: مساحة المثلث الجانبي تحتاج ارتفاعه الجانبي ل
- ✗ خطأنسيان مساحة القاعدة في المساحة الكلية.✓ الصواب: نجمع مساحة القاعدة مع المساحة الجانبية
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأنسيان ١/٢ في قانون المساحة الجانبية.✓ الصواب: كل وجه مثلث مساحته نصف القاعدة × الارتفاع
ملخص الدرس
- الهرم المنتظم قاعدته مضلع منتظم وأوجهه مثلثات متطابقة.
- المساحة الجانبية = ١/٢ × محيط القاعدة × ل.
- المساحة الكلية = مساحة القاعدة + المساحة الجانبية.
- نجد ل من ع ونصف ضلع القاعدة بنظرية فيثاغورس.
- نكتب المساحة بوحدات مربعة.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
