ورقاتشرح درس حجم المنشور والأسطوانة ثاني متوسط الفصل الثاني
الحجم هو مقدار الفراغ الذي يشغله المجسم ويُقاس بوحدات مكعبة. حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع، وحجم الأسطوانة = ط × نق × نق × الارتفاع.
أهداف الدرس
- يحسب حجم المنشور بقانون: مساحة القاعدة × الارتفاع.
- يحسب حجم الأسطوانة بقانون: ط × نق × نق × ع.
- يحوّل بين وحدات الحجم (سم³ ومل ولتر).
- يحل مسائل حياتية على حجوم الخزانات والعلب.
المفهوم الأساسي
الحجم هو مقدار الفراغ الذي يشغله المجسم ويُقاس بوحدات مكعبة. حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع، وحجم الأسطوانة = ط × نق × نق × الارتفاع.
شرح الدرس
كم لترًا من الماء يتسع له خزان بيتكم؟ وكم عصيرًا تحمل العلبة الأسطوانية؟ الجواب يأتي من حساب الحجم، أي عدد المكعبات الصغيرة التي تملأ المجسم.
حجم المنشور
نتخيل المنشور مكوّنًا من طبقات متطابقة، كل طبقة بمساحة القاعدة، وعدد الطبقات يساوي الارتفاع.
«حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع»
- متوازي المستطيلات: الطول × العرض × الارتفاع
- المكعب: طول الحرف × طول الحرف × طول الحرف
- المنشور الثلاثي: مساحة المثلث (١٢ × القاعدة × الارتفاع) × ارتفاع المنشور
مثال ١: متوازي مستطيلات
أبعاد علبة ٥ سم و٤ سم و٣ سم.
- مساحة القاعدة = ٥ × ٤ = ٢٠ سم²
- الحجم = ٢٠ × ٣ = ٦٠ سم³
مثال ٢: منشور ثلاثي
قاعدته مثلث قاعدته ٦ سم وارتفاعه ٤ سم، وارتفاع المنشور ١٠ سم.
- مساحة القاعدة = ١٢ × ٦ × ٤ = ١٢ سم²
- الحجم = ١٢ × ١٠ = ١٢٠ سم³
ارتفاع المثلث في القاعدة غير ارتفاع المنشور، فلا تخلط بينهما.
حجم الأسطوانة
قاعدة الأسطوانة دائرة، فمساحتها ط × نق × نق، ونضربها في الارتفاع.
«حجم الأسطوانة = ط × نق × نق × ع»
مثال ٣: أسطوانة
أسطوانة نق = ٣ سم وارتفاعها ع = ١٠ سم.
- مساحة القاعدة = ٣٫١٤ × ٣ × ٣ = ٢٨٫٢٦ سم²
- الحجم = ٢٨٫٢٦ × ١٠ = ٢٨٢٫٦ سم³
مثال ٤: إعطاء القطر
علبة أسطوانية قطرها ٨ سم وارتفاعها ٥ سم.
- نق = ٨ ÷ ٢ = ٤ سم
- الحجم = ٣٫١٤ × ٤ × ٤ × ٥ = ٢٥١٫٢ سم³
وحدات الحجم
- ١ سم³ يساوي ١ مل
- ١ لتر يساوي ١٠٠٠ سم³
- ١ م³ يساوي ١٠٠٠ لتر
مثال ٥: خزان مستطيل أبعاده ٢ م و١٫٥ م و١ م، حجمه ٢ × ١٫٥ × ١ = ٣ م³ أي ٣٠٠٠ لتر.
إيجاد الارتفاع المجهول
إذا كان حجم منشور ١٥٠ سم³ ومساحة قاعدته ٢٥ سم² فإن الارتفاع = ١٥٠ ÷ ٢٥ = ٦ سم.
وحدة الحجم مكعبة (سم³ وم³) أما وحدة المساحة فمربعة (سم² وم²).
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
ما حجم منشور مستطيل أبعاده ٨ سم و٥ سم و٢ سم؟
القاعدة ٨ × ٥ = ٤٠ والحجم ٤٠ × ٢ = ٨٠ سم³ الهدف: أن يطبّق الطالب قانون حجم المنشور.
التدريب الثاني
ما حجم أسطوانة نق = ٥ سم وارتفاعها ٧ سم؟
٣٫١٤ × ٢٥ × ٧ = ٥٤٩٫٥ سم³ الهدف: أن يطبّق الطالب قانون حجم الأسطوانة.
المسألة الثالثة
علبة عصير أسطوانية قطرها ٦ سم وارتفاعها ١٢ سم. كم مل تتسع؟
نق = ٣ والحجم ٣٫١٤ × ٩ × ١٢ = ٣٣٩٫١٢ سم³ أي ٣٣٩٫١٢ مل الهدف: أن يحسب الطالب الحجم ويحوّله إلى مل.
ملاحظات مهمة
- 1حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع لأي منشور.
- 2حجم الأسطوانة = ط × نق × نق × ع.
- 3القطر ضعف نصف القطر.
- 4١ لتر = ١٠٠٠ سم³
أخطاء شائعة
- ✗ خطأاستعمال القطر مكان نق في حجم الأسطوانة.✓ الصواب: نقسم القطر على ٢ أولًا
- ✗ خطأكتابة الحجم بوحدة مربعة.✓ الصواب: الحجم يُكتب بوحدة مكعبة مثل سم³
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأاستعمال ارتفاع المثلث على أنه ارتفاع المنشور الثلاثي.✓ الصواب: ارتفاع المثلث لإيجاد مساحة القاعدة فقط، ثم نضرب في ارتفاع المنشور
ملخص الدرس
- الحجم هو الفراغ الذي يشغله المجسم.
- حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع.
- حجم الأسطوانة = ط × نق × نق × ع.
- ١ سم³ = ١ مل و١ لتر = ١٠٠٠ سم³
- الحجم بوحدات مكعبة.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
