ورقاتشرح درس حجم الهرم والمخروط ثاني متوسط الفصل الثاني
حجم الهرم أو المخروط يساوي ثلث حجم المنشور أو الأسطوانة اللذين لهما القاعدة نفسها والارتفاع نفسه. فحجم الهرم = ١ ٣ × مساحة القاعدة × الارتفاع، وحجم المخروط = ١ ٣ × ط × نق × نق × ع.
أهداف الدرس
- يحسب حجم الهرم بقانون: ١/٣ × مساحة القاعدة × الارتفاع.
- يحسب حجم المخروط بقانون: ١/٣ × ط × نق × نق × ع.
- يقارن حجم الهرم بحجم المنشور وحجم المخروط بحجم الأسطوانة المشتركين في القاعدة والارتفاع.
- يحل مسائل حياتية على حجوم الأهرام والمخاريط.
المفهوم الأساسي
حجم الهرم أو المخروط يساوي ثلث حجم المنشور أو الأسطوانة اللذين لهما القاعدة نفسها والارتفاع نفسه. فحجم الهرم = ١٣ × مساحة القاعدة × الارتفاع، وحجم المخروط = ١٣ × ط × نق × نق × ع.
شرح الدرس
كوب الآيس كريم المخروطي يتسع لعصير أقل من كوب أسطواني له الفم نفسه والارتفاع نفسه. فكم يقل حجمه؟ الجواب: الثلث. وهذه القاعدة تنطبق على الهرم والمنشور أيضًا.
الارتفاع
ارتفاع الهرم أو المخروط هو البعد العمودي بين الرأس ومستوى القاعدة، وليس طول الحرف الجانبي المائل.
حجم الهرم
لو ملأنا هرمًا بالماء وسكبناه في منشور له القاعدة والارتفاع نفسهما لاحتجنا إلى ثلاثة أهرام لملء المنشور.
«حجم الهرم = ١٣ × مساحة القاعدة × الارتفاع»
مثال ١: هرم قاعدته مربعة
ضلع القاعدة ٦ سم وارتفاع الهرم ٥ سم.
- مساحة القاعدة = ٦ × ٦ = ٣٦ سم²
- الحجم = ١٣ × ٣٦ × ٥ = ٦٠ سم³
مثال ٢: قاعدة مستطيلة
هرم قاعدته مستطيل ٨ سم × ٦ سم وارتفاعه ٩ سم.
- مساحة القاعدة = ٨ × ٦ = ٤٨ سم²
- الحجم = ١٣ × ٤٨ × ٩ = ١٤٤ سم³
حجم المخروط
قاعدة المخروط دائرة مساحتها ط × نق × نق.
«حجم المخروط = ١٣ × ط × نق × نق × ع»
مثال ٣: مخروط
مخروط نق = ٣ سم وارتفاعه ٧ سم.
- مساحة القاعدة = ٣٫١٤ × ٣ × ٣ = ٢٨٫٢٦ سم²
- الحجم = ١٣ × ٢٨٫٢٦ × ٧ = ٦٥٫٩٤ سم³
مثال ٤: إعطاء القطر
مخروط قطره ١٢ سم وارتفاعه ٥ سم.
- نق = ١٢ ÷ ٢ = ٦ سم
- الحجم = ١٣ × ٣٫١٤ × ٦ × ٦ × ٥ = ١٨٨٫٤ سم³
المقارنة بالأسطوانة
حجم الأسطوانة التي نق = ٣ سم وارتفاعها ٧ سم هو ٣٫١٤ × ٩ × ٧ = ١٩٧٫٨٢ سم³ وحجم المخروط المناظر هو ٦٥٫٩٤ سم³ وهو ثلثها لأن ١٩٧٫٨٢ ÷ ٣ = ٦٥٫٩٤
إيجاد الارتفاع المجهول
هرم حجمه ١٠٠ سم³ ومساحة قاعدته ٣٠ سم² وبما أن الحجم = ١٣ × القاعدة × الارتفاع فإن الارتفاع = ٣ × ١٠٠ ÷ ٣٠ = ١٠ سم.
لا تنسَ الضرب في ١٣ فهو ما يميز الهرم والمخروط عن المنشور والأسطوانة.
الارتفاع عمودي على القاعدة، فلا نستعمل الارتفاع الجانبي في قانون الحجم.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
ما حجم هرم قاعدته مربعة ضلعها ٥ سم وارتفاعه ١٢ سم؟
القاعدة ٢٥ والحجم ١٣ × ٢٥ × ١٢ = ١٠٠ سم³ الهدف: أن يطبّق الطالب قانون حجم الهرم.
التدريب الثاني
ما حجم مخروط نق = ٢ سم وارتفاعه ٩ سم؟
١٣ × ٣٫١٤ × ٤ × ٩ = ٣٧٫٦٨ سم³ الهدف: أن يطبّق الطالب قانون حجم المخروط.
المسألة الثالثة
كوب مخروطي نق فمه ٥ سم وارتفاعه ١٢ سم. كم مل يتسع؟
١٣ × ٣٫١٤ × ٢٥ × ١٢ = ٣١٤ سم³ أي ٣١٤ مل الهدف: أن يحسب الطالب الحجم ويحوّله إلى مل.
ملاحظات مهمة
- 1حجم الهرم = ١/٣ × مساحة القاعدة × الارتفاع.
- 2حجم المخروط = ١/٣ × ط × نق × نق × ع.
- 3الهرم ثلث المنشور والمخروط ثلث الأسطوانة بالقاعدة والارتفاع نفسيهما.
- 4القطر ضعف نصف القطر، والارتفاع عمودي على القاعدة.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأنسيان الضرب في ١/٣ في حجم الهرم أو المخروط.✓ الصواب: حجمهما ثلث حجم المنشور أو الأسطوانة المناظرة
- ✗ خطأاستعمال طول الحرف الجانبي مكان الارتفاع.✓ الصواب: الارتفاع هو البعد العمودي بين الرأس والقاعدة
+عرض جميع الأخطاء (3) ←إخفاء الأخطاء الإضافية
- ✗ خطأاستعمال القطر مكان نق في المخروط.✓ الصواب: نقسم القطر على ٢ أولًا
ملخص الدرس
- حجم الهرم = ١/٣ × مساحة القاعدة × الارتفاع.
- حجم المخروط = ١/٣ × ط × نق × نق × ع.
- يساوي ثلث حجم المنشور أو الأسطوانة المناظرة.
- الارتفاع هو البعد العمودي عن القاعدة.
- نكتب الحجم بوحدات مكعبة.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
