ورقاتشرح درس المتتابعات ثاني متوسط الفصل الثاني
المتتابعة قائمة مرتبة من الأعداد تسمى حدودها. وتكون المتتابعة حسابية إذا كان الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى الفرق المشترك. والحد النوني = الفرق المشترك × ن + (الحد الأول − الفرق المشترك).
أهداف الدرس
- يتعرف المتتابعة الحسابية ويميزها من غيرها.
- يجد الفرق المشترك ويكتب الحدود التالية.
- يكتب عبارة الحد النوني لمتتابعة حسابية.
- يستعمل عبارة الحد النوني لإيجاد أي حد في المتتابعة.
المفهوم الأساسي
المتتابعة قائمة مرتبة من الأعداد تسمى حدودها. وتكون المتتابعة حسابية إذا كان الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى الفرق المشترك. والحد النوني = الفرق المشترك × ن + (الحد الأول − الفرق المشترك).
شرح الدرس
ادّخرت نورة ٥ ريالات في الأسبوع الأول، ثم زادت ادخارها ريالين كل أسبوع. ادخارها في الأسابيع الأولى هو:
٥٧٩١١؟
هذه متتابعة، فما الحد الذي يأتي بعد الحد الرابع؟ وكم تدّخر في الأسبوع الخمسين؟
المتتابعة الحسابية
- الحد: كل عدد في المتتابعة، فالحد الأول ٥ والثاني ٧ والثالث ٩
- الفرق المشترك: ما نضيفه (أو نطرحه) من كل حد لنحصل على الحد التالي.
«المتتابعة الحسابية فرقها المشترك ثابت»
في متتابعة نورة: ٧ − ٥ = ٢ و ٩ − ٧ = ٢ و ١١ − ٩ = ٢ فالفرق المشترك ٢ والحد الخامس ١١ + ٢ = ١٣
المتتابعة التي تتناقص فرقها المشترك سالب. مثال: ٢٠ و ١٧ و ١٤ و ١١ فرقها ١٧ − ٢٠ = −٣ والحد التالي ١١ + (−٣) = ٨
نحسب الفرق المشترك بطرح الحد من الحد الذي يليه وليس العكس.
ليست كل متتابعة حسابية
المتتابعة ٢ و ٦ و ١٨ و ٥٤ تتضاعف ثلاث مرات، والفروق فيها ٤ و ١٢ و ٣٦ وهي غير ثابتة، فليست حسابية.
الحد النوني
نريد قاعدة تعطينا أي حد دون كتابة المتتابعة كلها. في متتابعة نورة الفرق ٢ فنبدأ بالعبارة ٢ ن ونجرب:
- ن = ١ : ٢ × ١ = ٢ لكن الحد الأول ٥ فنزيد ٣
- العبارة: ٢ ن + ٣ نتحقق عند ن = ٢ : ٢ × ٢ + ٣ = ٧ وهو الحد الثاني.
«الحد النوني = الفرق المشترك × ن + (الحد الأول − الفرق المشترك)»
في المتتابعة ٥ و ٧ و ٩ وهكذا الحد النوني ٢ ن + ٣ والحد الخمسون = ٢ × ٥٠ + ٣ = ١٠٣ ريالات.
مثال آخر: المتتابعة ٢٠ و ١٧ و ١٤ وهكذا فرقها −٣ والحد الأول ٢٠ فعبارة الحد النوني −٣ ن + ٢٣ لأن ٢٠ − (−٣) = ٢٣ ثم الحد العاشر: −٣ × ١٠ + ٢٣ = −٧
ن رقم موقع الحد (١ أو ٢ أو ٣ وهكذا) وليست قيمة الحد.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
أوجد الفرق المشترك والحدين التاليين في المتتابعة ٣ و ٧ و ١١ و ١٥ الآتية.
الفرق ٤ والحدان ١٩ و ٢٣ على التوالي.
أن يجد الطالب الفرق ويكمل المتتابعة.
التدريب الثاني
اكتب عبارة الحد النوني للمتتابعة ٤ و ٧ و ١٠ و ١٣ ثم أوجد الحد العشرين.
٣ ن + ١ والحد العشرون ٣ × ٢٠ + ١ = ٦١ في المتتابعة.
أن يكتب الطالب عبارة الحد النوني ويستعملها.
المسألة الثالثة
يقطع عدّاء ٢ كم في اليوم الأول ثم يزيد ٠٫٥ كم كل يوم. كم يقطع في اليوم العاشر؟
الحد النوني ٠٫٥ ن + ١٫٥ فاليوم العاشر ٠٫٥ × ١٠ + ١٫٥ = ٦٫٥ كم.
أن يطبّق الطالب الحد النوني في موقف حياتي.
ملاحظات مهمة
- 1الفرق المشترك الموجب يعني تزايدًا، والسالب يعني تناقصًا.
- 2في المتتابعة الحسابية الفروق بين الحدود المتتالية كلها متساوية.
- 3الحد النوني = الفرق × ن + (الحد الأول − الفرق).
- 4نتحقق من العبارة بتعويض ن = ١ لنحصل على الحد الأول.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأكتابة الحد النوني للمتتابعة ٥ و ٧ و ٩ على أنه ٢ ن فقط.✓ الصواب: عند ن = ١ نحصل على ٢ لا ٥ فنضيف ٣ لتصبح ٢ ن + ٣
- ✗ خطأحساب الفرق المشترك بطرح الحد التالي من السابق.✓ الصواب: أطرح الحد السابق من التالي فيكون الفرق ٧ − ٥ = ٢
ملخص الدرس
- المتتابعة قائمة مرتبة من الأعداد.
- المتتابعة الحسابية فرقها المشترك ثابت.
- الحد النوني = الفرق × ن + (الحد الأول − الفرق).
- أتحقق بتعويض ن = ١ و ن = ٢
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
