ورقاتشرح درس مقاييس النزعة المركزية والمدى ثاني متوسط الفصل الثاني
مقاييس النزعة المركزية (الوسط والوسيط والمنوال) تصف مركز البيانات بعدد واحد، والمدى يصف مدى انتشارها؛ والقيمة المتطرفة قيمة بعيدة جدًا عن بقية القيم.
أهداف الدرس
- يحسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى لمجموعة بيانات.
- يحدد القيم المتطرفة ويفسر أثرها في كل مقياس.
- يختار المقياس الأنسب لوصف البيانات.
- يحل مسائل لفظية تتضمن الوسط الحسابي.
المفهوم الأساسي
مقاييس النزعة المركزية (الوسط والوسيط والمنوال) تصف مركز البيانات بعدد واحد، والمدى يصف مدى انتشارها؛ والقيمة المتطرفة قيمة بعيدة جدًا عن بقية القيم.
شرح الدرس
قرأ ٨ طلاب عدد الصفحات الآتي في الأسبوع الماضي:
٨٥٦٩٨١٢٨٤
نريد أن نعبر عن هذه البيانات بعدد واحد يمثلها. هناك ثلاثة أعداد ممكنة.
الوسط الحسابي
الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عدد القيم.
مجموع القيم: ٨ + ٥ + ٦ + ٩ + ٨ + ١٢ + ٨ + ٤ = ٦٠
الوسط الحسابي = ٦٠ ÷ ٨ = ٧٫٥ صفحة.
الوسيط
الوسيط هو القيمة التي في منتصف البيانات بعد ترتيبها تصاعديًا.
الترتيب: ٤٥٦٨٨٨٩١٢
عدد القيم زوجي وهو ٨ فالوسيط هو وسط القيمتين الرابعة والخامسة: (٨ + ٨) ÷ ٢ = ٨ صفحات.
إذا كان عدد القيم فرديًا فالوسيط هو القيمة الوسطى نفسها.
المنوال والمدى
- المنوال: القيمة الأكثر تكرارًا. هنا العدد ٨ ظهر ٣ مرات فهو المنوال.
- قد يكون للبيانات منوالان كالبيانات ٢٣٣٥٥٧ فمنوالاها ٣ و٥ وقد لا يكون لها منوال إذا لم تتكرر أي قيمة.
- المدى: الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة = ١٢ − ٤ = ٨ صفحات.
«الوسط الحسابي يوازن القيم والوسيط يتوسطها والمنوال أكثرها تكرارًا»
القيمة المتطرفة وأثرها
المثال الثاني: أزمنة وصول ٥ طلاب بالدقائق: ٢٢٢٤٢٥٢٦٢٨ وصل طالب سادس بعد ٧٠ دقيقة بسبب عطل. القيمة ٧٠ بعيدة جدًا عن الباقي فهي قيمة متطرفة. نقارن قبل وبعد إضافتها:
- قبل الإضافة: الوسط = ١٢٥ ÷ ٥ = ٢٥ والوسيط ٢٥ والمدى ٦
- بعد الإضافة: الوسط = ١٩٥ ÷ ٦ = ٣٢٫٥ والوسيط (٢٥ + ٢٦) ÷ ٢ = ٢٥٫٥ والمدى ٧٠ − ٢٢ = ٤٨
الوسط زاد زيادة كبيرة والمدى تضخم، أما الوسيط فتغير تغيرًا بسيطًا.
القيم المتطرفة تؤثر كثيرًا في الوسط الحسابي والمدى، وتؤثر قليلًا في الوسيط، ولا تؤثر في المنوال غالبًا.
أي مقياس نختار
- الوسط الحسابي: عندما لا توجد قيم متطرفة وتكون القيم متقاربة.
- الوسيط: عندما توجد قيم متطرفة تشد الوسط.
- المنوال: عندما نريد الشيء الأكثر شيوعًا مثل المقاس الأكثر مبيعًا.
استعمال الوسط في مسألة
المثال الثالث: درجات خالد في ثلاثة اختبارات هي ٧٠ و٨٥ و٩٠ درجة. ما الدرجة التي يحتاجها في اختبار رابع ليكون وسطه ٨٥؟
- المجموع المطلوب لأربعة اختبارات: ٨٥ × ٤ = ٣٤٠
- مجموع ما حققه: ٧٠ + ٨٥ + ٩٠ = ٢٤٥
- الدرجة المطلوبة: ٣٤٠ − ٢٤٥ = ٩٥
رتّب البيانات تصاعديًا قبل إيجاد الوسيط، وإلا ستخطئ في تحديد القيمة الوسطى.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
أوجد الوسط والوسيط والمنوال والمدى للبيانات ٣٧٥٣٩٣٦.
الوسط ٣٦ ÷ ٧ ≈ ٥٫١ والوسيط ٥ والمنوال ٣ والمدى ٦ وحدات.
أن يحسب الطالب المقاييس الأربعة.
التدريب الثاني
رواتب ٥ موظفين بالآلاف: ٦٧٦٨٣٣ أي مقياس أفضل لوصف الراتب المعتاد؟ ولماذا؟
الوسيط ٧ لأن القيمة ٣٣ متطرفة ترفع الوسط إلى ١٢ ألفًا.
أن يختار الطالب المقياس المناسب.
المسألة الثالثة
وسط ٥ أعداد يساوي ١٠ والأعداد الأربعة منها ٦ و٩ و١١ و١٢ فما العدد الخامس؟
٥٠ − ٣٨ = ١٢ أي أن العدد الخامس هو ١٢ فقط.
أن يوجد الطالب قيمة مجهولة من الوسط.
ملاحظات مهمة
- 1الوسط = المجموع ÷ العدد.
- 2الوسيط يحتاج إلى ترتيب البيانات.
- 3المنوال قد يكون واحدًا أو أكثر أو لا يوجد.
- 4المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأإيجاد الوسيط دون ترتيب البيانات.✓ الصواب: أرتب القيم تصاعديًا أولًا.
- ✗ خطأالقسمة على عدد غير عدد القيم عند حساب الوسط.✓ الصواب: أعد القيم وأقسم المجموع عليها.
ملخص الدرس
- الوسط والوسيط والمنوال تصف مركز البيانات.
- المدى يصف انتشار البيانات.
- القيم المتطرفة تؤثر في الوسط والمدى أكثر من الوسيط.
- أختار المقياس حسب شكل البيانات.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
