ورقاتشرح درس مقاييس التشتت ثاني متوسط الفصل الثاني
الربيعات تقسم البيانات المرتبة إلى أربعة أجزاء متساوية تقريبًا، والمدى الربيعي = الربيع الأعلى − الربيع الأدنى ويقيس انتشار القيم الوسطى، ونستعمله لكشف القيم المتطرفة.
أهداف الدرس
- يجد الربيع الأدنى والربيع الأعلى والوسيط لمجموعة بيانات.
- يحسب المدى الربيعي ويفسره.
- يحدد القيم المتطرفة باستعمال قاعدة ١٫٥ × المدى الربيعي.
- يقارن توزيعين باستعمال مقاييس التشتت.
المفهوم الأساسي
الربيعات تقسم البيانات المرتبة إلى أربعة أجزاء متساوية تقريبًا، والمدى الربيعي = الربيع الأعلى − الربيع الأدنى ويقيس انتشار القيم الوسطى، ونستعمله لكشف القيم المتطرفة.
شرح الدرس
المدى يتأثر كثيرًا بأكبر قيمة وأصغر قيمة. لذلك نحتاج إلى مقياس يصف انتشار القيم في الوسط ولا تفسده قيمة شاذة واحدة؛ وهو المدى الربيعي.
الربيع الأدنى والوسيط والربيع الأعلى
- الوسيط: يقسم البيانات المرتبة إلى نصفين.
- الربيع الأدنى: وسيط النصف الأدنى.
- الربيع الأعلى: وسيط النصف الأعلى.
إذا كان عدد القيم فرديًا نستثني الوسيط نفسه عند تكوين النصفين.
المثال الأول: عدد دقائق التمرين اليومي لـ ١١ طالبًا بعد ترتيبها:
٣٥٦٧٨١٠١٢١٣١٥١٦٣٠
- الوسيط: القيمة السادسة وهي ١٠
- النصف الأدنى: ٣٥٦٧٨ فالربيع الأدنى ٦
- النصف الأعلى: ١٢١٣١٥١٦٣٠ فالربيع الأعلى ١٥
«المدى الربيعي = الربيع الأعلى − الربيع الأدنى»
المدى الربيعي = ١٥ − ٦ = ٩ دقائق. أما المدى = ٣٠ − ٣ = ٢٧ دقيقة، فهو أكبر بكثير لأن القيمة ٣٠ بعيدة.
القيم المتطرفة
نعد القيمة متطرفة إذا كانت:
- أقل من الربيع الأدنى − ١٫٥ × المدى الربيعي (الحد الأدنى)
- أو أكبر من الربيع الأعلى + ١٫٥ × المدى الربيعي (الحد الأعلى)
في المثال الأول: ١٫٥ × ٩ = ١٣٫٥
- الحد الأدنى: ٦ − ١٣٫٥ = −٧٫٥ ولا توجد قيمة أقل منه.
- الحد الأعلى: ١٥ + ١٣٫٥ = ٢٨٫٥ والقيمة ٣٠ أكبر منه فهي قيمة متطرفة.
عدد زوجي من القيم
المثال الثاني: درجات ٨ طلاب مرتبة: ٤٧٩١٠١٢١٥١٦١٨
- الوسيط = (١٠ + ١٢) ÷ ٢ = ١١
- النصف الأدنى ٤٧٩١٠ فالربيع الأدنى = (٧ + ٩) ÷ ٢ = ٨
- النصف الأعلى ١٢١٥١٦١٨ فالربيع الأعلى = (١٥ + ١٦) ÷ ٢ = ١٥٫٥
- المدى الربيعي = ١٥٫٥ − ٨ = ٧٫٥
- ١٫٥ × ٧٫٥ = ١١٫٢٥ فالحد الأدنى ٨ − ١١٫٢٥ = −٣٫٢٥ والحد الأعلى ١٥٫٥ + ١١٫٢٥ = ٢٦٫٧٥
لا توجد قيمة خارج الحدين، فلا قيم متطرفة.
عند إيجاد الربيعين بقسمة البيانات إلى نصفين، نرتب البيانات أولًا ونستثني الوسيط إذا كان عدد القيم فرديًا.
قيمة متطرفة صغيرة
المثال الثالث: ٢٣٨٤٠٤١٤٣٤٥٤٧ عدد القيم ٧ والوسيط هو ٤١ فقط.
- الربيع الأدنى: وسيط ٢٣٨٤٠ وهو ٣٨
- الربيع الأعلى: وسيط ٤٣٤٥٤٧ وهو ٤٥
- المدى الربيعي = ٤٥ − ٣٨ = ٧ و١٫٥ × ٧ = ١٠٫٥
- الحد الأدنى: ٣٨ − ١٠٫٥ = ٢٧٫٥ والقيمة ٢ أقل منه فهي قيمة متطرفة.
- الحد الأعلى: ٤٥ + ١٠٫٥ = ٥٥٫٥ ولا توجد قيمة أكبر منه.
مقارنة توزيعين
صف أ مداه الربيعي ٨ وصف ب مداه الربيعي ١٥ بالوسيط نفسه. الأكثر تقاربًا في درجاته هو صف أ لأن مداه الربيعي أصغر.
المدى الربيعي أصغر من المدى دائمًا أو يساويه، وهو لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
نشاط تعليمي
التطبيق الأول
أوجد الربيعين والمدى الربيعي للبيانات ٢٤٥٧٨٩١١.
الوسيط ٧ والربيع الأدنى ٤ والربيع الأعلى ٩ والمدى الربيعي ٥ وحدات.
أن يحسب الطالب الربيعات.
التدريب الثاني
هل القيمة ٣٥ متطرفة في بيانات ربيعها الأدنى ٢٠ وربيعها الأعلى ٣٠؟
المدى الربيعي ١٠ و١٫٥ × ١٠ = ١٥ والحد الأعلى ٣٠ + ١٥ = ٤٥ والقيمة ٣٥ أقل منه فهي ليست متطرفة.
أن يطبق الطالب قاعدة القيم المتطرفة.
المسألة الثالثة
البيانات ١٦٨٩١٠١٢١٣١٤ أوجد الوسيط والربيعين.
الوسيط ٩٫٥ والربيع الأدنى ٧ والربيع الأعلى ١٢٫٥ والمدى الربيعي ٥٫٥ وحدات.
أن يتعامل الطالب مع عدد زوجي من القيم.
ملاحظات مهمة
- 1أرتب البيانات قبل إيجاد الربيعات.
- 2المدى الربيعي = الربيع الأعلى − الربيع الأدنى.
- 3الحد الأدنى = الربيع الأدنى − ١٫٥ × المدى الربيعي والحد الأعلى = الربيع الأعلى + ١٫٥ × المدى الربيعي.
- 4القيمة خارج الحدين متطرفة.
أخطاء شائعة
- ✗ خطأإدخال الوسيط في أحد النصفين عند عدد فردي من القيم.✓ الصواب: أستثني الوسيط ثم أجد وسيط كل نصف.
- ✗ خطأإيجاد الربيعين دون ترتيب البيانات.✓ الصواب: أرتب القيم تصاعديًا أولًا.
ملخص الدرس
- الربيعان يقسمان البيانات المرتبة إلى أربعة أجزاء.
- المدى الربيعي يقيس انتشار القيم الوسطى.
- أجد الحدين بـ ١٫٥ × المدى الربيعي لكشف القيم المتطرفة.
- كلما صغر المدى الربيعي تقاربت القيم.
هل أتقنت الدرس؟اختبر نفسك من خلال اختبار قصير من عدة أسئلة.
